Die folgende Liste enthalt verschiedene Ausdrucke fur die Riemannsche Zeta Funktion Inhaltsverzeichnis 1 Reihendarstellungen 2 Integraldarstellungen 3 Summenformeln 4 Beziehungen zu speziellen Funktionen 5 EinzelnachweiseReihendarstellungen BearbeitenErwahnenswert ist der Reihenausdruck z s 1 s 1 1 n 1 z s n 1 s s 1 s n 1 n 1 displaystyle zeta s frac 1 s 1 1 sum limits n 1 infty zeta s n 1 frac s s 1 cdots s n 1 n 1 nbsp der fur alle Werte s 1 0 1 displaystyle s neq 1 0 1 dotsc nbsp definiert ist 1 Interessant daran ist dass sich damit die Zeta Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lasst da fur die Berechnung von z s displaystyle zeta s nbsp lediglich die Werte z s 1 z s 2 displaystyle zeta s 1 zeta s 2 dotsc nbsp benotigt werden Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe 2 z s 1 s 1 n 0 1 n 1 k 0 n n k 1 k 1 k 1 s 1 displaystyle zeta s frac 1 s 1 sum n 0 infty frac 1 n 1 sum k 0 n left n atop k right frac 1 k 1 k 1 s 1 nbsp Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen 3 Integraldarstellungen BearbeitenEs gilt fur R e s gt 1 displaystyle mathrm Re s gt 1 nbsp z s 1 G s 0 x s 1 e x 1 d x displaystyle zeta s frac 1 Gamma s int 0 infty frac x s 1 e x 1 mathrm d x nbsp z s 1 G s 1 0 e x x s e x 1 2 d x displaystyle zeta s frac 1 Gamma s 1 int 0 infty frac e x x s e x 1 2 mathrm d x nbsp z s 1 2 1 2 s G s 0 x s 1 sinh x d x displaystyle zeta s frac 1 2 1 2 s Gamma s int 0 infty frac x s 1 sinh x mathrm d x nbsp z s 2 s 1 G s 1 0 x s sinh x 2 d x displaystyle zeta s frac 2 s 1 Gamma s 1 int 0 infty frac x s sinh x 2 mathrm d x nbsp Fur R e s gt 0 displaystyle mathrm Re s gt 0 nbsp mit s 1 displaystyle s not 1 nbsp gilt z s 1 1 2 1 s G s 0 x s 1 e x 1 d x displaystyle zeta s frac 1 1 2 1 s Gamma s int 0 infty frac x s 1 e x 1 mathrm d x nbsp z s 1 1 2 1 s G s 1 0 e x x s e x 1 2 d x displaystyle zeta s frac 1 1 2 1 s Gamma s 1 int 0 infty frac e x x s e x 1 2 mathrm d x nbsp Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta Funktion in die Abel Plana Summenformel einsetzt 4 z s 1 s 1 1 2 2 0 sin s arctan t 1 t 2 s 2 e 2 p t 1 d t displaystyle zeta s frac 1 s 1 frac 1 2 2 int limits 0 infty frac sin s arctan t 1 t 2 frac s 2 mathrm e 2 pi t 1 mathrm d t nbsp Ganz ahnlich dazu gilt beispielsweise z s 2 s 2 tan p 2 i t 1 i t s d t displaystyle zeta s 2 s 2 int limits infty infty frac tan left frac pi 2 mathrm i t right 1 mathrm i t s mathrm d t nbsp wobei allerdings das Integral einschrankend nur fur Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp konvergiert Eine Ubersicht zu zahlreichen weiteren Integraldarstellungen stammt von Michael S Milgram 5 Summenformeln BearbeitenZur Herleitung einer global gultigen Summenformel ist bei der Mellin Transformation zu beachten dass der Integrand neben der Kernfunktion t s 2 displaystyle t s 2 nbsp eine um t 0 displaystyle t 0 nbsp analytische Funktion ist t e t 1 n 0 B n n t n displaystyle frac t mathrm e t 1 sum nu 0 infty frac B nu nu t nu nbsp Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen der Zeta Funktion und den Bernoulli Zahlen B n displaystyle B nu nbsp Durch sukzessives Abspalten der Taylor Polynome von t e t 1 displaystyle t mathrm e t 1 nbsp im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta Funktion auf ganz C 1 0 1 displaystyle mathbb C setminus 1 0 1 dotsc nbsp fortgesetzt werden z s 1 G s 1 s 1 1 2 s n 2 B n n 1 s n 1 1 x s 1 e x 1 d x displaystyle zeta s frac 1 Gamma s left frac 1 s 1 frac 1 2s sum limits nu 2 infty frac B nu nu frac 1 s nu 1 int limits 1 infty frac x s 1 mathrm e x 1 mathrm d x right nbsp 6 Dabei wird ausgenutzt dass 1 G s displaystyle 1 Gamma s nbsp eine ganze Funktion ist Beziehungen zu speziellen Funktionen BearbeitenEs gilt z s h s 1 2 1 s l s 1 2 s displaystyle zeta s frac eta s 1 2 1 s frac lambda s 1 2 s nbsp wobei h s displaystyle eta s nbsp und l s displaystyle lambda s nbsp die Dirichletsche Eta bzw Lambda Funktion bezeichnet 7 Werte der Riemannschen Zeta Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf Erwahnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln die fur jedes naturliche n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp gegeben sind durch 8 z s G 1 s n s log n k 1 n 1 ps s 1 k n n s 1 ps s 1 1 displaystyle zeta s frac Gamma 1 s n s log n left sum limits k 1 n 1 psi s 1 left frac k n right left n s 1 right psi s 1 1 right nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Henri Cohen Number Theory Volume II Analytic and Modern Tools Springer Verlag S 74 Setzen von x 2 displaystyle x 2 nbsp in die zweite Formel H Hasse Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche z Reihe Mathematische Zeitschrift 32 1 1930 458 464 doi 10 1007 BF01194645 I V Blagouchine Three Notes on Ser s and Hasse s Representations for the Zeta functions INTEGERS The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 18A 2018 1 45 arXiv Jonathan M Borwein David M Bradley Richard E Crandall Computational strategies for the Riemann zeta function Journal of Computational and Applied Mathematics 121 2000 247 296 PDF S 253 Integral and Series Representations of Riemann s Zeta function Dirichlet s Eta Function and a Medley of Related Results arXiv Dragan Milicic Notes on Riemann s Zeta Function PDF 121 kB Eric W Weisstein Dirichlet Lambda Function In MathWorld englisch O Espinosa V H Moll A generalized polygamma function arXiv S 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste von Darstellungen fur die Riemannsche Zeta Funktion amp oldid 224134020
