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Laplace Filter Der bzw diskrete Laplace Operator ist ein Filter zur Kantendetektion der den Laplace Operator Summe der b

Laplace-Filter

Der Laplace-Filter bzw. diskrete Laplace-Operator ist ein Filter zur Kantendetektion, der den Laplace-Operator (Summe der beiden reinen zweiten Ableitungen) approximiert:

Unter einer Kante versteht man nun eine Kurve , entlang derer der Gradient des Bildes immer in Normalenrichtung zeigt (das heißt eine Isolinie):

Das Vektorfeld ist also im Bereich der Kante quellenfrei. Eine Kante kann sich also nur einstellen, falls folgende Gleichung erfüllt ist:

Man sucht also die Nulldurchgänge eines Laplace-gefilterten Bildes. Allerdings ist hierbei zu beachten, dass auch homogener Flächen gleich null sind. Der Laplace-Filter liefert also nur eine Obermenge der möglichen Kanten.

Funktionsweise Bearbeiten

Berechnung der zweiten Ableitung von Kanten in einem verrauschten 1D-Signal

In der nebenstehenden Abbildung ist ein verrauschtes Signal gezeigt, von dem die zweite Ableitung berechnet wurde. Die Kante taucht hier als Nulldurchgang des Signals auf. Auf ein diskretes Signal gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden (siehe Diskreter Laplace-Operator):

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, welche im Unterschied zur oberen Variante zusätzlich auf 45°-Kanten anspricht:

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Am Ende des Artikels sieht man Beispiele für die Anwendung des Laplace-Filters.

Übertragungsfunktion und Isotropie des Filters Bearbeiten

Übertragungsfunktion verschiedener Laplace-Filter

Die Übertragungsfunktion (Fourier-Transformierte) des idealen Laplace-Operators Δ lautet:

Ein diskretisierter Laplace-Operator muss diese parabolische Übertragungsfunktion möglichst gut approximieren.

Die Abbildung rechts zeigt die Übertragungsfunktion des ersten 2D-Laplace-Filters. Man sieht deutlich die Anisotropie und den Hochpass-Charakter der Übertragungsfunktion. Als Formel lautet sie:

Sie zeigt um Ähnlichkeit zur idealen Übertragungsfunktion des Laplace-Operators.

Man kommt zu einer isotroperen Approximation des Laplace-Operator, wenn man eine etwas andere Darstellung des Laplace-Filters wählt:

Dabei ist der 3×3-Binomialfilter (Glättungsfilter) und ein "Einheits-Filter"/δ-Puls, der das Bild auf sich selbst abbildet (Die Punktantwort ist überall null, bis auf das zentrale Pixel. Dort ist sie 1). Die Übertragungsfunktion dieses Filters lautet:

Diese Übertragungsfunktion ist ebenfalls in der Abbildung rechts enthalten. Es zeigt sich, dass sie wesentlich isotroper ist als die erste Version.

Beispielbilder Bearbeiten

Software Bearbeiten

Der Laplace-Filter kann mit dem Grafikprogramm GIMP über die Menüaufrufe Filter -> Kanten finden -> Kanten ausgeführt werden. In den freien Bildverarbeitungsbibliotheken Scikit-image und OpenCV ist er ebenfalls implementiert.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-24999-0
  • Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. 7.4. Laplace. In: GNU Image Manipulation Program - Benutzerhandbuch. GIMP, abgerufen am 29. November 2018.
  2. Module: filters — skimage v0.15.dev0 docs. Abgerufen am 29. November 2018 (englisch).
  3. OpenCV: Laplace Operator. Abgerufen am 29. November 2018 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Laplace Filter bzw diskrete Laplace Operator ist ein Filter zur Kantendetektion der den Laplace Operator Summe der beiden reinen zweiten Ableitungen approximiert D f 2 f x 2 2 f y 2 displaystyle Delta f frac partial 2 f partial x 2 frac partial 2 f partial y 2 Unter einer Kante versteht man nun eine Kurve g t displaystyle vec g t entlang derer der Gradient des Bildes f displaystyle f immer in Normalenrichtung zeigt das heisst eine Isolinie f g t d f d t f g t g t 0 displaystyle f vec g t implies frac df dt nabla f vec g t cdot frac partial vec g partial t 0 Das Vektorfeld f displaystyle nabla f ist also im Bereich der Kante quellenfrei Eine Kante kann sich also nur einstellen falls folgende Gleichung erfullt ist 0 f D f displaystyle 0 nabla cdot nabla f Delta f Man sucht also die Nulldurchgange eines Laplace gefilterten Bildes Allerdings ist hierbei zu beachten dass auch D f displaystyle Delta f homogener Flachen gleich null sind Der Laplace Filter liefert also nur eine Obermenge der moglichen Kanten Inhaltsverzeichnis 1 Funktionsweise 2 Ubertragungsfunktion und Isotropie des Filters 3 Beispielbilder 4 Software 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseFunktionsweise Bearbeiten nbsp Berechnung der zweiten Ableitung von Kanten in einem verrauschten 1D SignalIn der nebenstehenden Abbildung ist ein verrauschtes Signal gezeigt von dem die zweite Ableitung berechnet wurde Die Kante taucht hier als Nulldurchgang des Signals auf Auf ein diskretes Signal gn bzw gnm wird der Laplace Operator uber eine Faltung angewendet Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden siehe Diskreter Laplace Operator 1D D x 2 1 2 1 displaystyle quad vec D x 2 begin bmatrix 1 amp 2 amp 1 end bmatrix nbsp 2D D x y 2 0 1 0 1 4 1 0 1 0 displaystyle quad mathbf D xy 2 begin bmatrix 0 amp 1 amp 0 1 amp 4 amp 1 0 amp 1 amp 0 end bmatrix nbsp Fur das 2D Filter gibt es noch eine zweite Variante welche im Unterschied zur oberen Variante zusatzlich auf 45 Kanten anspricht 2D D x y 2 1 1 1 1 8 1 1 1 1 displaystyle quad mathbf D xy 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 1 amp 8 amp 1 1 amp 1 amp 1 end bmatrix nbsp Diese Faltungsmasken erhalt man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten Am Ende des Artikels sieht man Beispiele fur die Anwendung des Laplace Filters Ubertragungsfunktion und Isotropie des Filters Bearbeiten nbsp Ubertragungsfunktion verschiedener Laplace FilterDie Ubertragungsfunktion Fourier Transformierte des idealen Laplace Operators D lautet D 2 x 2 2 y 2 4 p 2 k 2 displaystyle Delta frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 circ bullet 4 pi 2 vec k 2 nbsp Ein diskretisierter Laplace Operator muss diese parabolische Ubertragungsfunktion moglichst gut approximieren Die Abbildung rechts zeigt die Ubertragungsfunktion des ersten 2D Laplace Filters Man sieht deutlich die Anisotropie und den Hochpass Charakter der Ubertragungsfunktion Als Formel lautet sie l k 4 sin 2 p k x 2 4 sin 2 p k y 2 displaystyle hat l vec k 4 sin 2 pi k x 2 4 sin 2 pi k y 2 nbsp Sie zeigt um k 0 displaystyle vec k 0 nbsp Ahnlichkeit zur idealen Ubertragungsfunktion des Laplace Operators Man kommt zu einer isotroperen Approximation des Laplace Operator wenn man eine etwas andere Darstellung des Laplace Filters wahlt 4 B 2 I 1 4 1 2 1 2 12 2 1 2 1 displaystyle 4 mathcal B 2 mathcal I frac 1 4 begin bmatrix 1 amp 2 amp 1 2 amp 12 amp 2 1 amp 2 amp 1 end bmatrix nbsp Dabei ist B 2 displaystyle mathcal B 2 nbsp der 3 3 Binomialfilter Glattungsfilter und I displaystyle mathcal I nbsp ein Einheits Filter d Puls der das Bild auf sich selbst abbildet Die Punktantwort ist uberall null bis auf das zentrale Pixel Dort ist sie 1 Die Ubertragungsfunktion dieses Filters lautet l k 4 cos 2 p k x 2 cos 2 p k y 2 4 displaystyle hat l vec k 4 cos 2 pi k x 2 cdot cos 2 pi k y 2 4 nbsp Diese Ubertragungsfunktion ist ebenfalls in der Abbildung rechts enthalten Es zeigt sich dass sie wesentlich isotroper ist als die erste Version Beispielbilder Bearbeiten nbsp nbsp Originalbild nbsp Bild gefiltert mit der einfachsten Filtermaske Anklicken zum Vergrossern nbsp Bild gefiltert mit der zweiten Filtermaske Anklicken zum Vergrossern Software BearbeitenDer Laplace Filter kann mit dem Grafikprogramm GIMP 1 uber die Menuaufrufe Filter gt Kanten finden gt Kanten ausgefuhrt werden In den freien Bildverarbeitungsbibliotheken Scikit image 2 und OpenCV 3 ist er ebenfalls implementiert Siehe auch BearbeitenPrewitt Operator Sobel OperatorLiteratur BearbeitenBernd Jahne Digitale Bildverarbeitung 6 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin 2005 ISBN 3 540 24999 0 Russell Merris Laplacian matrices of graphs a survey In Linear Algebra and its Applications 197 198 143 176 1994 ISSN 0024 3795Einzelnachweise Bearbeiten 7 4 Laplace In GNU Image Manipulation Program Benutzerhandbuch GIMP abgerufen am 29 November 2018 Module filters skimage v0 15 dev0 docs Abgerufen am 29 November 2018 englisch OpenCV Laplace Operator Abgerufen am 29 November 2018 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Laplace Filter amp oldid 213301691