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Kugelkondensator Unter einem oder sphärischen Kondensator 1 versteht man einen elektrischen Kondensator der aus zwei kon

Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien und

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien und gilt

ε0 ist hierbei die elektrische Feldkonstante. εr ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Formel für die Kapazität Bearbeiten

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R1 und R2 gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Sonderfälle Bearbeiten

Sehr kleiner Abstand Bearbeiten

Wenn , kann man angenähert setzen und erhält .

Sehr großer Abstand Bearbeiten

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Wenn ist, kann man angenähert setzen und erhält . Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ( und somit ). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

Ladung und Ladungsdichte Bearbeiten

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung und entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als , wobei die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld Bearbeiten

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente . Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Elektrisches Potential Bearbeiten

Das elektrische Potential ist ein nur von abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als . Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

  • Für ist .
  • Für ist .
  • Für ist .

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte Bearbeiten

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

Literatur Bearbeiten

  • Eugen Philippow (Hrsg.): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. Verlag Technik, Berlin 1968, DNB 365695874, S. 308 ff.
  • Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik: Leitfaden und Aufgaben Teil I: Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld. 3. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1964, DNB 453110886, S. 181 ff.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.
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Unter einem Kugelkondensator oder spharischen Kondensator 1 versteht man einen elektrischen Kondensator der aus zwei konzentrischen gegeneinander isolierten metallischen Kugeloberflachen besteht Kugelkondensator mit den Radien R 1 displaystyle R 1 und R 2 displaystyle R 2 Fur die Kapazitat eines Kugelkondensators mit den Radien R 1 displaystyle R 1 und R 2 displaystyle R 2 gilt C 4 p e R 2 R 1 R 2 R 1 displaystyle C 4 pi varepsilon frac R 2 R 1 R 2 R 1 mit e e 0 e r displaystyle varepsilon varepsilon 0 varepsilon r e0 ist hierbei die elektrische Feldkonstante er ist die Dielektrizitatszahl welche im Vakuum gleich 1 ist Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung der Formel fur die Kapazitat 2 Sonderfalle 2 1 Sehr kleiner Abstand 2 2 Sehr grosser Abstand 3 Ladung und Ladungsdichte 4 Elektrisches Feld 5 Elektrisches Potential 6 Spannung zwischen innerer und ausserer Platte 7 Literatur 8 EinzelnachweiseHerleitung der Formel fur die Kapazitat BearbeitenFur eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R1 und R2 gilt fur das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazitat der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators d 1 C 1 e d r A r 1 e d r 4 p r 2 displaystyle mathrm d frac 1 C frac 1 varepsilon cdot frac mathrm d r A r frac 1 varepsilon cdot frac mathrm d r 4 pi r 2 nbsp wobei A r die Oberflache einer Kugel ist Integriert man nun so ergibt sich 1 C R 1 R 2 1 e d r 4 p r 2 1 4 p e 1 R 1 1 R 2 displaystyle frac 1 C int limits R 1 R 2 frac 1 varepsilon cdot frac mathrm d r 4 pi r 2 frac 1 4 pi varepsilon cdot left frac 1 R 1 frac 1 R 2 right nbsp Umgestellt nach der Kapazitat C ergibt dies oben genannte Formel Alternativ lasst sich auch die Definition C Q U displaystyle C frac Q U nbsp nutzen wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und ausserer Platte verwendet Sonderfalle BearbeitenSehr kleiner Abstand Bearbeiten Wenn d R 2 R 1 R 1 displaystyle d R 2 R 1 ll R 1 nbsp kann man angenahert R 1 R 2 R displaystyle R 1 R 2 R nbsp setzen und erhalt C 4 p e R 2 d displaystyle C 4 pi varepsilon frac R 2 d nbsp Sehr grosser Abstand Bearbeiten nbsp Papierkondensator mit der Kapazitat 5000 cm Wenn R 1 R 2 displaystyle R 1 ll R 2 nbsp ist kann man angenahert R 2 R 1 R 2 displaystyle R 2 R 1 R 2 nbsp setzen und erhalt C 4 p e R 1 displaystyle C 4 pi varepsilon R 1 nbsp Die Kapazitat wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt Diese Naherung beschreibt auch die Kapazitat einer freistehenden Kugel auch als Kugelelektrode 1 bezeichnet da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist R 2 displaystyle R 2 to infty nbsp und somit R 1 R 2 displaystyle R 1 ll R 2 nbsp Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente fruher als Masseinheit der Kapazitat mit folgender Aquivalenz 1 c m 4 p e 0 1 c m 1 112 65 p F displaystyle 1 mathrm cm equiv 4 pi varepsilon 0 cdot 1 mathrm cm approx 1 11265 mathrm pF nbsp Ladung und Ladungsdichte BearbeitenBeim Kugelkondensator geht man davon aus dass die beiden Elektroden mit der Ladung Q displaystyle Q nbsp und Q displaystyle Q nbsp entgegengesetzt geladen sind Diese Ladungen befinden sich als Flachenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflachen Dann lasst sich die Ladungsdichte schreiben als ϱ r Q 4 p R 1 2 d r R 1 Q 4 p R 2 2 d r R 2 displaystyle varrho r frac Q 4 pi R 1 2 delta r R 1 frac Q 4 pi R 2 2 delta r R 2 nbsp wobei d displaystyle delta nbsp die Dirac sche Delta Distribution ist Elektrisches Feld BearbeitenDer Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente E r displaystyle E r nbsp Diese lasst sich mit der folgenden Formel berechnen E r r Q 4 p r 2 e displaystyle E r r frac Q 4 pi r 2 varepsilon nbsp wobei R 1 lt r lt R 2 displaystyle R 1 lt r lt R 2 nbsp Das Feld ist nicht homogen sondern abhangig vom Abstand r displaystyle r nbsp zum Mittelpunkt des Kondensators Innerhalb der Elektroden und ausserhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden Elektrisches Potential BearbeitenDas elektrische Potential ist ein nur von r displaystyle r nbsp abhangiges Skalarfeld und berechnet sich bis auf eine additive Konstante als f r r E r r d r displaystyle varphi r int infty r E r r dr nbsp Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden Fur r R 2 displaystyle r geq R 2 nbsp ist f r 0 displaystyle varphi r 0 nbsp Fur R 1 lt r lt R 2 displaystyle R 1 lt r lt R 2 nbsp ist f r R 2 r E r r d r Q 4 p e 0 e r 1 r 1 R 2 displaystyle varphi r int R 2 r E r r dr frac Q 4 pi varepsilon 0 varepsilon r left frac 1 r frac 1 R 2 right nbsp Fur r R 1 displaystyle r leq R 1 nbsp ist f r Q 4 p e 0 e r 1 R 1 1 R 2 displaystyle varphi r frac Q 4 pi varepsilon 0 varepsilon r left frac 1 R 1 frac 1 R 2 right nbsp Spannung zwischen innerer und ausserer Platte BearbeitenDie Spannung zwischen der inneren und ausseren Kugel berechnet sich wie folgt U f R 1 f R 2 0 R 1 R 2 E r r d r Q 4 p e 0 e r 1 R 1 1 R 2 displaystyle U varphi R 1 underbrace varphi R 2 0 int R 1 R 2 E r r mathrm d r frac Q 4 pi varepsilon 0 varepsilon r left frac 1 R 1 frac 1 R 2 right nbsp Literatur BearbeitenEugen Philippow Hrsg Taschenbuch Elektrotechnik Band 1 Verlag Technik Berlin 1968 DNB 365695874 S 308 ff Klaus Lunze Einfuhrung in die Elektrotechnik Leitfaden und Aufgaben Teil I Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld 3 Auflage Verlag Technik Berlin 1964 DNB 453110886 S 181 ff Einzelnachweise Bearbeiten a b Eugen Philippow Grundlagen der Elektrotechnik Akademische Verlagsgesellschaft Geest amp Portig K G Leipzig 1967 DNB 457803371 S 82 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelkondensator amp oldid 217241553