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Kretschmann Skalar Der K displaystyle K auch Kretschmann Invariante oder Riemannsche Invariante nach Erich Kretschmann d

Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

Definition Bearbeiten

Der Kretschmann-Skalar ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

Hierbei bezeichnet den Riemannschen Krümmungstensor und .

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor , den Ricci-Tensor sowie den Ricci-Skalar wie folgt ausgedrückt werden:

Beispiel Bearbeiten

Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius gegeben durch:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  2. Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
  3. Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Kretschmann Skalar K displaystyle K auch Kretschmann Invariante oder Riemannsche Invariante nach Erich Kretschmann der ihn einfuhrte bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten Er kann als Mass fur die Krummung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitatstheorie gedeutet werden 1 Definition BearbeitenDer Kretschmann Skalar K displaystyle K nbsp ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als K R k l m n R k l m n k 0 3 l 0 3 m 0 3 n 0 3 R k l m n R k l m n displaystyle K R kappa lambda mu nu R kappa lambda mu nu sum kappa 0 3 sum lambda 0 3 sum mu 0 3 sum nu 0 3 R kappa lambda mu nu R kappa lambda mu nu nbsp Hierbei bezeichnet R k l m n displaystyle R kappa lambda mu nu nbsp den Riemannschen Krummungstensor und R k l m n i 0 3 g k i j 0 3 g l j k 0 3 g m k l 0 3 g n l R i j k l displaystyle R kappa lambda mu nu sum i 0 3 g kappa i sum j 0 3 g lambda j sum k 0 3 g mu k sum l 0 3 g nu l R ijkl nbsp Fur die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann Skalar weiterhin durch den Weyl Tensor C k l m n displaystyle C kappa lambda mu nu nbsp den Ricci Tensor R k l displaystyle R kappa lambda nbsp sowie den Ricci Skalar R displaystyle R nbsp wie folgt ausgedruckt werden 2 K C k l m n C k l m n 2 R k l R k l 1 3 R 2 displaystyle K C kappa lambda mu nu C kappa lambda mu nu 2R kappa lambda R kappa lambda frac 1 3 R 2 nbsp Beispiel BearbeitenFur die Schwarzschild Metrik ist der Kretschmann Skalar mit dem Schwarzschild Radius r s displaystyle r s nbsp gegeben durch 3 K 12 r s 2 r 6 48 G 2 M 2 c 4 r 6 displaystyle K frac 12 r s 2 r 6 frac 48G 2 M 2 c 4 r 6 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Richard C Henry Kretschmann Scalar for a Kerr Newman Black Hole In The Astrophysical Journal 535 Jahrgang The American Astronomical Society 2000 S 350 353 doi 10 1086 308819 arxiv astro ph 9912320v1 bibcode 2000ApJ 535 350H iop org Eintrag zum Kretschmann Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags Sebastian Boblest Thomas Muller Gunter Wunner Spezielle und allgemeine Relativitatstheorie Springer Berlin 2016 S 225 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kretschmann Skalar amp oldid 186280644