Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Die kontaminierte Normalverteilung ist eine besondere Form der Mischverteilung Sie spielt eine grosse Rolle bei Robustheitsuntersuchungen der Schatzer und Tests Definition BearbeitenDie reelle Zufallsvariable X displaystyle X nbsp hat eine kontaminierte Normalverteilung wenn sich ihre Dichtefunktion in der Form f x 1 e 1 2 p s 1 e 1 2 x m 1 s 1 2 e 1 2 p s 2 e 1 2 x m 2 s 2 2 displaystyle f x 1 varepsilon frac 1 sqrt 2 pi sigma 1 operatorname e frac 1 2 left frac x mu 1 sigma 1 right 2 varepsilon frac 1 sqrt 2 pi sigma 2 operatorname e frac 1 2 left frac x mu 2 sigma 2 right 2 nbsp mit e 0 1 displaystyle varepsilon in 0 1 nbsp also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs Dichtefunktionen darstellen lasst Die Verteilungsfunktion hat dann die Gestalt F 1 e N m 1 s 1 2 e N m 2 s 2 2 displaystyle F 1 varepsilon operatorname N mu 1 sigma 1 2 varepsilon operatorname N mu 2 sigma 2 2 nbsp Dabei gilt m 1 m 2 R s 1 s 2 gt 0 N m s 2 displaystyle mu 1 mu 2 in mathbb R sigma 1 sigma 2 gt 0 operatorname N mu sigma 2 nbsp ist die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable Erwartungswert und Varianz BearbeitenFur den Erwartungswert und die Varianz gilt E X 1 e m 1 e m 2 displaystyle operatorname E X 1 varepsilon mu 1 varepsilon mu 2 nbsp Var X 1 e s 1 2 e s 2 2 e 1 e m 1 m 2 2 displaystyle operatorname Var X 1 varepsilon sigma 1 2 varepsilon sigma 2 2 varepsilon 1 varepsilon mu 1 mu 2 2 nbsp Oft werden durch zusatzliche Bedingungen wie m 1 m 2 displaystyle mu 1 mu 2 nbsp Spezialfalle abgeleitet skalenkontaminierte Normalverteilung Beispiel BearbeitenEin Hersteller von elektronischen Geraten benutzt Kondensatoren mit der Kapazitat 5 nF die er von zwei Herstellern bezieht Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B Vom Hersteller A stammen 60 der bezogenen Kondensatoren von B 40 Man nehme an im genugend weiten Bereich ist die Kapazitat der Kondensatoren von beiden Herstellern normalverteilt mit Parametern m 1 m 2 s 1 2 s 2 2 displaystyle mu 1 mu 2 sigma 1 2 sigma 2 2 nbsp Sei m 1 m 2 5 nF displaystyle mu 1 mu 2 5 operatorname nF nbsp und s 1 2 0 014 4 nF 2 s 2 2 0 022 5 nF 2 displaystyle sigma 1 2 0 0144 operatorname nF 2 sigma 2 2 0 0225 operatorname nF 2 nbsp Nun ist eine Abweichung von mehr als 10 von dem Sollwert der Kapazitat hochst unerwunscht Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass ein Kondensator eine um mehr als 10 abweichende Kapazitat aufweist 10 5 0 5 displaystyle 10 cdot 5 0 5 nbsp P X lt 4 5 X gt 5 5 0 6 F 5 0 5 5 0 014 4 0 4 F 5 0 5 5 0 022 5 1 0 6 F 5 0 5 5 0 014 4 1 0 4 F 5 0 5 5 0 022 5 0 6 F 0 5 0 12 0 4 F 0 5 0 15 1 0 6 F 0 5 0 12 1 0 4 F 0 5 0 15 2 0 6 F 0 5 0 12 0 4 F 0 5 0 15 2 0 6 0 000 015464 0 4 0 000 429117 0 000 361849 displaystyle begin aligned P X lt 4 5 cup X gt 5 5 amp left 0 6 cdot Phi left frac 5 0 5 5 sqrt 0 0144 right 0 4 cdot Phi left frac 5 0 5 5 sqrt 0 0225 right right amp qquad left 1 0 6 cdot Phi left frac 5 0 5 5 sqrt 0 0144 right 1 0 4 cdot Phi left frac 5 0 5 5 sqrt 0 0225 right right amp left 0 6 cdot Phi left frac 0 5 0 12 right 0 4 cdot Phi left frac 0 5 0 15 right right left 1 0 6 cdot Phi left frac 0 5 0 12 right 1 0 4 cdot Phi left frac 0 5 0 15 right right amp 2 cdot left 0 6 cdot Phi left frac 0 5 0 12 right 0 4 cdot Phi left frac 0 5 0 15 right right amp approx 2 cdot left 0 6 cdot 0 000015464 0 4 cdot 0 000429117 right amp 0 000361849 end aligned nbsp Ein Anteil von zirka 0 000361849 aller Kondensatoren zeigt bezuglich der Kapazitat eine hohere Abweichung als 10 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kontaminierte Normalverteilung amp oldid 203503393
