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Kan-Komplex

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

Definition Bearbeiten

Der violette 2-Simplex hat die schwarzen Kanten als Ränder: .

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplex, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Homotopiegruppen Bearbeiten

D. M. Kan gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel Bearbeiten

Sei ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge sei wie folgt definiert. Die -Simplizes in sind die stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes nach . Die Randabbildungen von werden von den Randabbildungen induziert.

ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von überein.

Literatur Bearbeiten

  • J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.
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In der Algebraischen Topologie einem Teilgebiet der Mathematik sind Kan Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Homotopiegruppen 3 Beispiel 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Der violette 2 Simplex s displaystyle sigma nbsp hat die schwarzen Kanten t 0 t 2 displaystyle tau 0 tau 2 nbsp als Rander 0 s t 0 2 s t 2 displaystyle partial 0 sigma tau 0 partial 2 sigma tau 2 nbsp Eine simpliziale Menge ist ein Kan Komplex wenn sie die Kan Erweiterungs Eigenschaft erfullt Fur alle n N 0 k n 1 displaystyle n in mathbb N 0 leq k leq n 1 nbsp und jede n 1 displaystyle n 1 nbsp elementige Menge t 0 t k 1 t k 1 t n 1 displaystyle left tau 0 ldots tau k 1 tau k 1 ldots tau n 1 right nbsp von n displaystyle n nbsp Simplizes mit i t j j 1 t i displaystyle partial i tau j partial j 1 tau i nbsp fur alle i lt j displaystyle i lt j nbsp gibt es ein n 1 displaystyle n 1 nbsp Simplex s displaystyle sigma nbsp mit i s t i displaystyle partial i sigma tau i nbsp fur i 0 k 1 k 1 n 1 displaystyle i 0 ldots k 1 k 1 ldots n 1 nbsp Homotopiegruppen BearbeitenD M Kan 1 gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen fur Kan Komplexe Beispiel BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum Die singulare simpliziale Menge S X displaystyle S X nbsp sei wie folgt definiert Die n displaystyle n nbsp Simplizes in S n X displaystyle S n X nbsp sind die stetigen Abbildungen des Standard n displaystyle n nbsp Simplexes nach X displaystyle X nbsp Die Randabbildungen von S X displaystyle S X nbsp werden von den Randabbildungen D n 1 D n displaystyle Delta n 1 to Delta n nbsp induziert S X displaystyle S X nbsp ist ein Kan Komplex seine Homotopiegruppen im Sinne von Kan stimmen mit den Homotopiegruppen von X displaystyle X nbsp uberein Literatur BearbeitenJ Peter May Simplicial objects in algebraic topology Reprint of the 1967 original Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press Chicago IL 1992 ISBN 0 226 51181 2 Weblinks BearbeitenG Friedman an elementary illustrated introduction to simplicial setsEinzelnachweise Bearbeiten Daniel Marinus Kan A combinatorial definition of homotopy groups In Ann of Math 2 67 1958 S 282 312 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kan Komplex amp oldid 219548759