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Jordan Wigner Transformation Mithilfe der können verschiedene eindimensionale quantenmechanische Systeme aufeinander abg

Jordan-Wigner-Transformation

Mithilfe der Jordan-Wigner-Transformation können verschiedene eindimensionale quantenmechanische Systeme aufeinander abgebildet werden. Genauer gesagt ist es möglich mit der Transformation eindimensionale Spin-1/2-Ketten auf Fermionen auf einer Kette abzubilden.

Die Jordan-Wigner-Transformation bildet die Spin-1/2-Operatoren und ihre Algebra (Algebra der Pauli-Matrizen) auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen und deren Algebra ab. Mithilfe der Transformation kann die Äquivalenz zwischen dem eindimensionalen Heisenbergmodell und Fermionen auf einem eindimensionalen Gitter mit nächster Nachbarwechselwirkung gezeigt werden.

Die Transformation wurde 1928 von Pascual Jordan und Eugene Wigner in der Zeitschrift für Physik veröffentlicht. 1961 benutzten Elliott Lieb, T. Schultz, D. Mattis die Transformation bei der Einführung ihres exakt lösbaren eindimensionalen Spin-1/2-xy-Modells.

Die Jordan-Wigner-Transformation wurde auch auf zweidimensionale Spin-Systeme angewandt und auf dreidimensionale Systeme. Die Anwendung auf zweidimensionale Systeme wurde als einer der Ersten von Eduardo Fradkin 1989 diskutiert.

Elliott Lieb, T. Schultz, Daniel Mattis wandten die Transformation 1964 auf die Transfermatrix im zweidimensionalen Isingmodell an und leiteten damit die zuvor von Lars Onsager gefundene exakte Lösung ab.

Grundlegende Idee Bearbeiten

Betrachtet man Spin-1/2-Operatoren am Platz , so findet man, dass diese den grundlegenden kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen (Anti-Kommutatorrelationen) für Fermionen gehorchen:

wobei . Die Idee ist daher, die Spin-1/2-Operatoren als fermionische Operatoren zu betrachten. Allerdings erfüllen die Spin-1/2-Operatoren keine Anti-Kommutatorrelationen, sondern Kommutatorrelationen auf verschiedenen Gitterplätzen und :

wobei .

Jordan und Wigner haben erkannt, dass dies jedoch mit der Einführung eines Phasenoperators vor den Spin-1/2-Operatoren behoben werden kann. Es wird eine Wegorientierung definiert mit einem Phasenfaktor, der abhängig von der Anzahl der Up-Spins vor dem betrachteten Spin ist.

Ist an der Stelle ein Up-Spin, wird ein Phasenfaktor (−1) „aufgepickt“, bei einem Down-Spin passiert nichts (Phasenfaktor 1):

Die so definierten fermionischen Operatoren erfüllen die Anti-Kommutatorrelationen auf verschiedenen Plätzen und :

Besonders hilfreich sind folgende Zusammenhänge für die Abbildung zwischen verschiedenen Modellen:

Anwendungen Bearbeiten

1D-Heisenberg-Modell Bearbeiten

Zur Veranschaulichung der Jordan-Wigner-Transformation wird sie auf das eindimensionale Heisenberg-Modell angewandt. Die nötigen Produkte der verschiedenen Operatoren sind bereits im vorherigen Abschnitt aufgelistet. Der Hamiltonian des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

Die Transformation zeigt also die Äquivalenz des 1D-Heisenberg Modells mit spinlosen Fermionen auf dem Gitter mit periodischen Randbedingungen und lediglich nächster Nachbarwechselwirkung. Der erste Term beschreibt wechselwirkungsfreie Fermionen und der zweite Term ist der Wechselwirkungsterm mit einer Wechselwirkung gegeben über die Kopplungskonstante des Heisenbergmodells.

1D-XY-Modell Bearbeiten

Ein weiteres Beispiel ist das eindimensionale XY-Modell als Spezialfall des 1D-Heisenberg-Modells. Der Hamiltonian des XY-Modells kann geschrieben werden als:

Die Jordan-Wigner Transformation bildet das Spin-System also auf wechselwirkungsfreie spinlose Fermionen ab. Für dieses System kann man die Zustandssumme exakt angeben.

Quanteninformationstheorie Bearbeiten

Die Transformation wurde in der Quanteninformationstheorie benutzt, um ein System wechselwirkender Qubits auf ein äquivalentes System wechselwirkender Fermionen abzubilden und umgekehrt. Außerdem konnte damit durch Raymond Laflamme und Kollegen das Problem der Simulation fermionischer quantenmechanischer Systeme in Quantencomputern gelöst werden, ein Problem das in der Pionierarbeit von Richard Feynman von 1982 noch offen war.

Quellen Bearbeiten

  1. P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631–651, doi:10.1007/BF01331938.
  2. Lieb, Schultz, Mattis, Annals of Physics, Band 16, 1961, S. 407
  3. Oleg Derzho, Jordan-Wigner fermionization for spin-1/2 systems in two dimensions: A brief review, Journal of Physical Studies, Band 5, 2001, S. 49–64, Arxiv
  4. Lieb, Schultz, Mattis, Review of Modern Physics, Band 36, 1964, S. 856
  5. Michael Nielsen, The fermionic canonical commutation relations and the Jordan-Wigner transform, 2005 Online als Complete notes on fermions and the Jordan-Wigner transform.
  6. R. Somma, G. Ortiz, J. E. Gubernatis, E. Knill, R. Laflamme, Simulating physical phenomena by quantum networks, Physical Review A, Band 65, 2002, S. 042323, Arxiv
  7. Richard Feynman, Simulating physics with computers, Int. J. Theor. Phys., Band 21, 1982, S. 467–488
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Veröffentlichungsdatum:
Mithilfe der Jordan Wigner Transformation konnen verschiedene eindimensionale quantenmechanische Systeme aufeinander abgebildet werden Genauer gesagt ist es moglich mit der Transformation eindimensionale Spin 1 2 Ketten auf Fermionen auf einer Kette abzubilden Die Jordan Wigner Transformation bildet die Spin 1 2 Operatoren und ihre Algebra Algebra der Pauli Matrizen auf Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren fur Fermionen und deren Algebra ab Mithilfe der Transformation kann die Aquivalenz zwischen dem eindimensionalen Heisenbergmodell und Fermionen auf einem eindimensionalen Gitter mit nachster Nachbarwechselwirkung gezeigt werden Die Transformation wurde 1928 von Pascual Jordan und Eugene Wigner in der Zeitschrift fur Physik veroffentlicht 1 1961 benutzten Elliott Lieb T Schultz D Mattis die Transformation bei der Einfuhrung ihres exakt losbaren eindimensionalen Spin 1 2 xy Modells 2 Die Jordan Wigner Transformation wurde auch auf zweidimensionale Spin Systeme angewandt 3 und auf dreidimensionale Systeme Die Anwendung auf zweidimensionale Systeme wurde als einer der Ersten von Eduardo Fradkin 1989 diskutiert Elliott Lieb T Schultz Daniel Mattis wandten die Transformation 1964 auf die Transfermatrix im zweidimensionalen Isingmodell an und leiteten damit die zuvor von Lars Onsager gefundene exakte Losung ab 4 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Idee 2 Anwendungen 2 1 1D Heisenberg Modell 2 2 1D XY Modell 2 3 Quanteninformationstheorie 3 QuellenGrundlegende Idee BearbeitenBetrachtet man Spin 1 2 Operatoren am Platz j displaystyle j nbsp so findet man dass diese den grundlegenden kanonischen Anti Vertauschungsrelationen Anti Kommutatorrelationen fur Fermionen gehorchen S j S j 1 S j S j 0 S j S j displaystyle S j S j 1 qquad S j S j 0 S j S j nbsp wobei A B A B B A displaystyle A B AB BA nbsp Die Idee ist daher die Spin 1 2 Operatoren als fermionische Operatoren zu betrachten Allerdings erfullen die Spin 1 2 Operatoren keine Anti Kommutatorrelationen sondern Kommutatorrelationen auf verschiedenen Gitterplatzen j displaystyle j nbsp und k displaystyle k nbsp S j S k 0 S j S k S j S k displaystyle S j S k 0 S j S k S j S k nbsp wobei A B A B B A displaystyle A B AB BA nbsp Jordan und Wigner haben erkannt dass dies jedoch mit der Einfuhrung eines Phasenoperators vor den Spin 1 2 Operatoren behoben werden kann Es wird eine Wegorientierung definiert mit einem Phasenfaktor der abhangig von der Anzahl der Up Spins vor dem betrachteten Spin ist c j e i ϕ j S j mit ϕ j p k lt j S k S k displaystyle c j e i phi j S j qquad text mit quad phi j pi sum k lt j S k S k nbsp Ist an der Stelle j displaystyle j nbsp ein Up Spin wird ein Phasenfaktor 1 aufgepickt bei einem Down Spin passiert nichts Phasenfaktor 1 e i p S j S j e i p n j 1 2 n j mit n j S j S j displaystyle e i pi S j S j e i pi n j 1 2n j qquad text mit quad n j S j S j nbsp Die so definierten fermionischen Operatoren erfullen die Anti Kommutatorrelationen auf verschiedenen Platzen j displaystyle j nbsp und k displaystyle k nbsp c j c k d j k c j c k 0 c j c k displaystyle c j c k dagger delta jk qquad c j dagger c k dagger 0 c j c k nbsp Besonders hilfreich sind folgende Zusammenhange fur die Abbildung zwischen verschiedenen Modellen S j S j 1 c j c j 1 displaystyle S j S j 1 pm c j dagger c j 1 nbsp S z S j S j 1 2 c j c j 1 2 displaystyle S z S j S j frac 1 2 c j dagger c j frac 1 2 nbsp Anwendungen Bearbeiten1D Heisenberg Modell Bearbeiten Zur Veranschaulichung der Jordan Wigner Transformation wird sie auf das eindimensionale Heisenberg Modell angewandt Die notigen Produkte der verschiedenen Operatoren sind bereits im vorherigen Abschnitt aufgelistet Der Hamiltonian H Heis displaystyle H text Heis nbsp des 1D Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als H Heis J n 1 N S n S n 1 J n 1 N 1 2 S n S n 1 S n S n 1 S n z S n 1 z J i 1 N 1 2 c i c i 1 h c c i c i 1 2 c i 1 c i 1 1 2 H 0 H J displaystyle begin aligned H text Heis amp J sum n 1 N vec S n cdot 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