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Jacobi Koordinaten Die sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n Körpersysteme in der Physik Sie werden insbes

Jacobi-Koordinaten

Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.

Jacobi-Koordinaten veranschaulicht für vier Körper. Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet. Die Jacobi-Koordinaten sind r1, r2, r3 und R.

Jacobi-Koordinaten für N Teilchen Bearbeiten

Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben:
Man betrachtet zwei der Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt , ihre Gesamtmasse und die relative Position zueinander . Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse am Ort . Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar: . Dies wiederholt man nun für die anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen. Nach derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als und vom letzten Schritt.

In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu

mit

Dabei ist die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als

zu

Verwendung Bearbeiten

In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991 zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan weite Verbreitung fand.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John Z. H. Zhang, Theory and application of quantum molecular dynamics, World Scientific 1999, S. 104.
  2. ↑ Patrick Cornille: Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific, 2003, ISBN 981-238-367-0, Partition of forces using Jacobi coordinates, S. 102 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. J. Wisdom, M. J. Holman: Symplectic maps for the n-body problem. The Astronomical Journal 102, 1991, S. 1528–1538, doi:10.1086/115978.
  4. H. F. Levison, M. J. Duncan: The long-term dynamical behavior of short-period comets. Icarus 108, 1994, S. 18–36, doi:10.1006/icar.1994.1039.
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Die Jacobi Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten fur n Korpersysteme in der Physik Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Molekule und chemischer Reaktionen verwendet 1 Jacobi Koordinaten veranschaulicht fur vier Korper Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet Die Jacobi Koordinaten sind r1 r2 r3 und R Jacobi Koordinaten fur N Teilchen BearbeitenDer Algorithmus zum Erhalt der Jacobi Koordinaten lasst sich wie folgt beschreiben Man betrachtet zwei der N displaystyle N nbsp Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt R m 1 r 1 m 2 r 2 m 1 m 2 displaystyle vec R m 1 vec r 1 m 2 vec r 2 m 1 m 2 nbsp ihre Gesamtmasse m 12 m 1 m 2 displaystyle m 12 m 1 m 2 nbsp und die relative Position zueinander r 12 r 1 r 2 displaystyle vec r 12 vec r 1 vec r 2 nbsp Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse m 12 displaystyle m 12 nbsp am Ort R displaystyle vec R nbsp Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi Koordinate dar R 1 r 12 displaystyle vec R 1 vec r 12 nbsp Dies wiederholt man nun fur die N 2 displaystyle N 2 nbsp anderen Teilchen sowie das neue virtuelle Teilchen Nach N 1 displaystyle N 1 nbsp derartigen Schritten erhalt man die Jacobi Koordinaten als R i displaystyle vec R i nbsp und R N R displaystyle vec R N vec R nbsp vom letzten Schritt In Formeln ergeben sich die Jacobi Koordinaten zu R 1 r 1 r 2 R j 1 m 0 j k 1 j m k r k r j 1 und R N 1 m 0 k 1 N m k r k displaystyle vec R 1 vec r 1 vec r 2 qquad vec R j frac 1 m 0j sum limits k 1 j m k vec r k vec r j 1 qquad text und qquad vec R N frac 1 m 0 sum limits k 1 N m k vec r k nbsp mit m 0 j k 1 j m k displaystyle m 0j sum limits k 1 j m k nbsp 2 Dabei ist m 0 N M displaystyle m 0N M nbsp die Gesamtmasse des Systems Die letzte Jacobi Koordinate R N displaystyle vec R N nbsp entspricht dem Schwerpunkt des Systems Die zugehorigen Geschwindigkeiten berechnen sich als W j d R j d t displaystyle vec W j frac mathrm d vec R j mathrm d t nbsp zu W 1 v 1 v 2 W j 1 m 0 j k 1 j m k v k v j 1 und W N 1 m 0 N k 1 N m k v k displaystyle vec W 1 vec v 1 vec v 2 qquad vec W j frac 1 m 0j sum limits k 1 j m k vec v k vec v j 1 qquad text und qquad vec W N frac 1 m 0N sum limits k 1 N m k vec v k nbsp 2 Verwendung BearbeitenIn der Himmelsmechanik ermoglichen die Jacobi Koordinaten die Hamilton Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten Diese nutzten Wisdom und Holman 1991 3 zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan 4 weite Verbreitung fand Einzelnachweise Bearbeiten John Z H Zhang Theory and application of quantum molecular dynamics World Scientific 1999 S 104 a b Patrick Cornille Advanced electromagnetism and vacuum physics World Scientific 2003 ISBN 981 238 367 0 Partition of forces using Jacobi coordinates S 102 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche J Wisdom M J Holman Symplectic maps for the n body problem The Astronomical Journal 102 1991 S 1528 1538 doi 10 1086 115978 H F Levison M J Duncan The long term dynamical behavior of short period comets Icarus 108 1994 S 18 36 doi 10 1006 icar 1994 1039 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jacobi Koordinaten amp oldid 196410038