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Inverse Halbgruppe Die inverse Halbgruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Er verallgemeine

Inverse Halbgruppe

Die inverse Halbgruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er verallgemeinert den Begriff der Gruppe. Dabei werden inverse Elemente ohne Bezugnahme auf ein neutrales Element definiert.

Definition Bearbeiten

Eine inverse Halbgruppe ist eine Halbgruppe mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ein eindeutig bestimmtes , Inverses (in Abgrenzung zu dem inversen Element bezogen auf ein neutrales Element auch relatives Inverses) von genannt, gibt mit

Äquivalente Definitionen Bearbeiten

Mit Operationssymbol Bearbeiten

Eine Halbgruppe ist eine inverse Halbgruppe, wenn idempotente Elemente kommutieren und es eine weitere Operation gibt, sodass für alle gilt

Rein algebraisch Bearbeiten

Eine Halbgruppe ist eine inverse Halbgruppe, wenn es eine weitere Operation gibt und folgende Gleichungen für alle erfüllt sind:

Beispiele und Anwendungen Bearbeiten

Jede Gruppe ist eine inverse Halbgruppe, mit .

Jeder Halbverband ist eine inverse Halbgruppe, mit .

Die Definition einer „Meadow“ erhält man, indem man die Definition eines Körpers als speziellen unitären kommutativen Ring modifiziert: Anstatt außerdem zu fordern, dass eine Gruppe ist, wird gefordert, dass eine inverse Halbgruppe ist. Die Folge ist, dass „Meadows“ rein algebraisch axiomatisiert werden können. Die „Division“, definiert als Multiplikation mit dem Inversen, wird total; es ist .

Eigenschaften Bearbeiten

Für jedes Element einer inversen Halbgruppe ist immer idempotent. Zudem kann jedes idempotente Element in dieser Form dargestellt werden, da .

Wie in Gruppen ist und .

Literatur Bearbeiten

  • Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7.
  • John Mackintosh Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. 1995, ISBN 0-19-851194-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. H. Clifford: Semigroups admitting relative inverses (= Ann. of Math. Nr. 42). 1941, S. 1037–1049.
  2. Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7, S. 21.
  3. Inversion semi-group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  4. J.A. Bergstra, Y. Hirshfeld, J.V. Tucker: Meadows and the equational specification of division. 7. Januar 2009, arxiv:0901.0823.
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Die inverse Halbgruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Er verallgemeinert den Begriff der Gruppe Dabei werden inverse Elemente ohne Bezugnahme auf ein neutrales Element definiert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Aquivalente Definitionen 2 1 Mit Operationssymbol 2 2 Rein algebraisch 3 Beispiele und Anwendungen 4 Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine inverse Halbgruppe ist eine Halbgruppe A displaystyle A cdot nbsp mit der Eigenschaft dass es zu jedem x A displaystyle x in A nbsp ein eindeutig bestimmtes y A displaystyle y in A nbsp Inverses in Abgrenzung zu dem inversen Element bezogen auf ein neutrales Element auch relatives Inverses 1 von x displaystyle x nbsp genannt gibt mit x y x x displaystyle x cdot y cdot x x nbsp und y x y y displaystyle y cdot x cdot y y nbsp 2 Aquivalente Definitionen BearbeitenMit Operationssymbol Bearbeiten Eine Halbgruppe A displaystyle A cdot nbsp ist eine inverse Halbgruppe wenn idempotente Elemente kommutieren und es eine weitere Operation A A displaystyle colon A to A nbsp gibt sodass fur alle x A displaystyle x in A nbsp gilt x x x x displaystyle x cdot x cdot x x nbsp und x x x x displaystyle x cdot x cdot x x nbsp Rein algebraisch Bearbeiten Eine Halbgruppe A displaystyle A cdot nbsp ist eine inverse Halbgruppe wenn es eine weitere Operation A A displaystyle colon A to A nbsp gibt und folgende Gleichungen fur alle x y A displaystyle x y in A nbsp erfullt sind 3 x x displaystyle x x nbsp x x x x displaystyle x cdot x cdot x x nbsp x x y y y y x x displaystyle x cdot x cdot y cdot y y cdot y cdot x cdot x nbsp Beispiele und Anwendungen BearbeitenJede Gruppe ist eine inverse Halbgruppe mit x x 1 displaystyle x x 1 nbsp Jeder Halbverband ist eine inverse Halbgruppe mit x x displaystyle x x nbsp Die Definition einer Meadow 4 erhalt man indem man die Definition eines Korpers als speziellen unitaren kommutativen Ring R displaystyle R cdot nbsp modifiziert Anstatt ausserdem zu fordern dass R 0 displaystyle R setminus 0 cdot nbsp eine Gruppe ist wird gefordert dass R displaystyle R cdot nbsp eine inverse Halbgruppe ist Die Folge ist dass Meadows rein algebraisch axiomatisiert werden konnen Die Division definiert als Multiplikation mit dem Inversen wird total es ist 1 0 0 displaystyle 1 0 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenFur jedes Element x displaystyle x nbsp einer inversen Halbgruppe ist x x displaystyle x cdot x nbsp immer idempotent Zudem kann jedes idempotente Element e displaystyle e nbsp in dieser Form dargestellt werden da e e e displaystyle e e cdot e nbsp Wie in Gruppen ist x x displaystyle x x nbsp und x y y x displaystyle x cdot y y cdot x nbsp Literatur BearbeitenAlan Paterson Groupoids Inverse Semigroups and their Operator Algebras 1999 ISBN 0 8176 4051 7 John Mackintosh Howie Fundamentals of Semigroup Theory 1995 ISBN 0 19 851194 9 Einzelnachweise Bearbeiten A H Clifford Semigroups admitting relative inverses Ann of Math Nr 42 1941 S 1037 1049 Alan Paterson Groupoids Inverse Semigroups and their Operator Algebras 1999 ISBN 0 8176 4051 7 S 21 Inversion semi group In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org J A Bergstra Y Hirshfeld J V Tucker Meadows and the equational specification of division 7 Januar 2009 arxiv 0901 0823 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inverse Halbgruppe amp oldid 224435056