Eine exakte oder vollstandige Differentialgleichung ist eine gewohnliche Differentialgleichung der Form p x y x q x y x d y x d x 0 displaystyle p x y x q x y x frac rm d y x rm d x 0 bei der es eine stetig differenzierbare Funktion F x y displaystyle Phi x y gibt so dass gilt F x y x p x y displaystyle frac partial Phi x y partial x p x y und F x y y q x y displaystyle frac partial Phi x y partial y q x y Eine solche Funktion F displaystyle Phi heisst dann Potentialfunktion des Vektorfelds p q displaystyle p q Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 2 Definition 3 Losungsmethode 4 Integrierende Faktoren 4 1 Integrierender Faktor µ x und µ y 4 2 Integrierender Faktor m x y 5 Literatur 6 EinzelnachweiseEinfuhrung BearbeitenDie Differentialgleichung p x y q x y d y d x x 0 displaystyle textstyle p x y q x y frac rm d y rm d x x 0 nbsp wird durch die Trennung der Variablen gerne in der Darstellung p x y d x q x y d y 0 displaystyle p x y mathrm d x q x y mathrm d y 0 nbsp angegeben Der Vorteil dieser Darstellung liegt darin begrundet dass die linke Seite der Differentialgleichung also p x y d x q x y d y displaystyle p x y mathrm d x q x y mathrm d y nbsp als Bestandteil eines totalen Differentials aufgefasst werden kann mit d F x y p x y d x q x y d y displaystyle mathrm d Phi x y p x y mathrm d x q x y mathrm d y nbsp Hierbei ubernimmt die Funktion F x y displaystyle Phi x y nbsp die Bedeutung eines Skalarpotentials mit der Bedingung F x x y p x y displaystyle frac partial Phi partial x x y p x y nbsp sowie F y x y q x y displaystyle frac partial Phi partial y x y q x y nbsp Demnach muss es ein Vektorfeld geben welches aus dem Gradienten des Skalarpotentials gebildet werden kann also p x y q x y F x y displaystyle begin pmatrix p x y q x y end pmatrix nabla Phi x y nbsp Sind p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp stetig partiell differenzierbar und ist der Definitionsbereich von p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp ein einfach zusammenhangendes Gebiet U R 2 displaystyle U subseteq mathbb R 2 nbsp so gibt es genau dann ein Skalarpotential F displaystyle Phi nbsp wenn die sogenannte Integrabilitatsbedingung q x x y p y x y displaystyle frac partial q partial x x y frac partial p partial y x y nbsp erfullt ist Denn fur die zweifach stetig partiell differenzierbare Funktion F x y displaystyle Phi x y nbsp gilt nach dem Satz von Schwarz 2 F x y x y p y x y q x x y 2 F y x x y displaystyle frac partial 2 Phi partial x partial y x y frac partial p partial y x y frac partial q partial x x y frac partial 2 Phi partial y partial x x y nbsp Die Integrabilitatsbedingung kann auch so interpretiert werden dass die Rotation des Vektorfeldes p q displaystyle p q nbsp auf einem einfach zusammenhangenden Gebiet verschwinden muss Wenn das der Fall ist dann existiert ein Skalarpotential F displaystyle Phi nbsp Wird andererseits die rechte Seite der Differentialgleichung p x y d x q x y d y 0 displaystyle p x y mathrm d x q x y mathrm d y 0 nbsp mit dem totalen Differential der Funktion F x y displaystyle Phi x y nbsp verknupft so ergibt sich eine Pfaffsche Form in der Darstellung d F x y 0 displaystyle mathrm d Phi x y 0 nbsp und nach einer beidseitigen Integration der Gleichung folgt d F x y F x y C displaystyle int mathrm d Phi x y Phi x y C nbsp Somit wird anschaulich dass es eine Konstante C displaystyle C nbsp geben muss die fur alle x y displaystyle x y nbsp die Funktion F x y displaystyle Phi x y nbsp erfullt Die Losung F x y C displaystyle Phi x y C nbsp ist daher die Anfangsbedingung der Differentialgleichung und stellt eine Aquipotentiallinie dar F x y displaystyle Phi x y nbsp wird im Zusammenhang mit der exakten Differentialgleichung auch als Erstes Integral bezeichnet Definition BearbeitenIn einem einfach zusammenhangenden Gebiet U R 2 displaystyle U subseteq mathbb R 2 nbsp ist eine exakte Differentialgleichung gegeben durch p x y d x q x y d y 0 displaystyle p x y mathrm d x q x y mathrm d y 0 nbsp wenn folgende Voraussetzungen gelten Die Funktionen p q U R displaystyle p q colon U to mathbb R nbsp sind stetig partiell differenzierbar Die Integrabilitatsbedingung p y q x displaystyle frac partial p partial y frac partial q partial x nbsp ist erfullt Es existiert ein zweifach stetig partiell differenzierbares Skalarpotential F x y displaystyle Phi x y nbsp so dass F x x y p x y displaystyle frac partial Phi partial x x y p x y nbsp sowie F y x y q x y displaystyle frac partial Phi partial y x y q x y nbsp gilt Es ist ein Anfangswert F x 0 y 0 C displaystyle Phi x 0 y 0 C nbsp vorgegeben Losungsmethode BearbeitenUm die exakte Differentialgleichung zu losen ist es erforderlich das Skalarpotential F x y displaystyle Phi x y nbsp wie folgt zu ermitteln Integrabilitatsbedingung Die Differentialgleichung ist exakt wenn die Integrabilitatsbedingung p y x y q x x y displaystyle frac partial p partial y x y frac partial q partial x x y nbsp erfullt ist Falls dies nicht der Fall ist kann die Differentialgleichung eventuell mittels eines integrierenden Faktors gelost werden Erstes Integral Wenn eine exakte Differentialgleichung vorliegt wird mittels Integration aus der Beziehung F x x y p x y displaystyle frac partial Phi partial x x y p x y nbsp das Skalarpotential zu F x y p x y d x f y displaystyle Phi x y int p x y mathrm d x varphi y nbsp bestimmt Dabei ist f y displaystyle varphi y nbsp eine von x displaystyle x nbsp unabhangige Integrationskonstante die jedoch bzgl y displaystyle y nbsp variabel ist Insofern ist das Skalarpotential bis auf eine unbekannte Funktion f y displaystyle varphi y nbsp bestimmt Um nun die noch unbekannte Funktion f y displaystyle varphi y nbsp zu ermitteln wird die Integrabilitatsbedingung in der Integraldarstellung genutzt Durch Integration von p y x y q x x y displaystyle frac partial p partial y x y frac partial q partial x x y nbsp erhalt man y p x y d x d f y d y x q x y d x q x y displaystyle frac partial partial y int p x y mathrm d x frac mathrm d varphi y mathrm d y frac partial partial x int q x y mathrm d x q x y nbsp wobei die rechte Seite der Gleichung q x y displaystyle q x y nbsp liefert Nach Umformen folgt d f y d y q x y y p x y d x displaystyle frac mathrm d varphi y mathrm d y q x y frac partial partial y int p x y mathrm d x nbsp Durch nochmalige Integration ergibt sich f y d f y q x y y p x y d x d y displaystyle varphi y int mathrm d varphi y int left q x y frac partial partial y int p x y mathrm d x right mathrm d y nbsp und somit lautet eine Losung des gesuchten Skalarpotentials F x y p x y d x q x y y p x y d x d y p x y d x f y displaystyle begin aligned Phi x y amp int p x y mathrm d x int left q x y frac partial partial y int p x y mathrm d x right mathrm d y amp int p x y mathrm d x varphi y end aligned nbsp Die Stammfunktion F x y displaystyle Phi x y nbsp wird auch als Erstes Integral der exakten Differentialgleichung bezeichnet Anfangsbedingung Bei allen zuvor durchgefuhrten Integrationen blieb die Integrationskonstante unberucksichtigt da diese aus dem Anfangswert berechnet wird Da neben der exakten Differentialgleichung fur die Losung ein Anfangswert notig ist kann nun mit F x 0 y 0 C displaystyle Phi x 0 y 0 C nbsp das Skalarpotential F x y displaystyle Phi x y nbsp ermittelt werden Ohne Anfangswert Ist der Anfangswert F x 0 y 0 displaystyle Phi x 0 y 0 nbsp nicht bekannt so ergibt die Differentialgleichung d F d y x y 0 displaystyle frac mathrm d Phi mathrm d y x y 0 nbsp die Losung F x y C displaystyle Phi x y C nbsp Diese Anfangsbedingung liefert dann eingesetzt in das Erste Integral die gewunschte Losung der exakten DifferentialgleichungC p x y d x f y displaystyle C int p x y mathrm d x varphi y nbsp dd Mit Anfangswert Ist ein Anfangswert F x 0 y 0 displaystyle Phi x 0 y 0 nbsp vorgegeben so muss die Gleichung F x y F x 0 y 0 displaystyle Phi x y Phi x 0 y 0 nbsp erfullt sein Dieser Anfangswert liefert dann eingesetzt in das Erste Integral die gewunschte Losung der exakten DifferentialgleichungF x 0 y 0 p x y d x f y displaystyle Phi x 0 y 0 int p x y mathrm d x varphi y nbsp dd einfach zusammenhangendes Gebiet Schlussendlich ist zu prufen ob die Losung ein einfach zusammenhangendes Gebiet abdeckt Falls dies nicht der Fall ist muss gepruft werden ob durch geeignete Restriktionen die Losung auf ein einfach zusammenhangendes Gebiet reduziert werden kann Beispiel nbsp Lemniskate von Gerono Losungsmenge von x 4 x 2 y 2 0 displaystyle x 4 x 2 y 2 0 nbsp Es soll die exakte Differentialgleichung der Lemniskate von Gerono berechnet werden Es wird also die Differentialgleichung 4 x 3 2 x d x 2 y d y 0 displaystyle 4x 3 2x mathrm d x 2y mathrm d y 0 nbsp mit dem Anfangswert F 1 0 0 displaystyle Phi 1 0 0 nbsp betrachtet Demnach ist p x y 4 x 3 2 x q x y 2 y displaystyle p x y 4x 3 2x qquad q x y 2y nbsp und die Integrabilitatsbedingung ergibt p y 0 q x 0 displaystyle frac partial p partial y 0 qquad frac partial q partial x 0 nbsp Die Differentialgleichung ist also exakt und das Erste Integral kann sofort bestimmt werden Dazu wird zunachst f y displaystyle varphi y nbsp berechnet f y q y p d x d y 2 y d y y 4 x 3 2 x d x d y 2 y d y y x 4 x 2 0 d y y 2 displaystyle begin aligned varphi y amp int left q frac partial partial y int p mathrm d x right mathrm d y amp int 2y mathrm d y int frac partial partial y int left 4x 3 2x right mathrm d x mathrm d y amp int 2y mathrm d y int underbrace frac partial partial y left x 4 x 2 right 0 mathrm d y amp y 2 end aligned nbsp Somit ist f y y 2 displaystyle varphi y y 2 nbsp und das zweite Integral verschwindet da der Integrand nicht von y displaystyle y nbsp abhangig ist Die Integrationskonstanten werden wie zuvor ausgefuhrt nicht berucksichtigt Unter dieser Voraussetzung lasst sich das Erste Integral bestimmen zu F x y p d x f y 4 x 3 2 x d x y 2 x 4 x 2 y 2 displaystyle begin aligned Phi x y amp int p mathrm d x varphi y amp int left 4x 3 2x right mathrm d x y 2 amp x 4 x 2 y 2 end aligned nbsp Mit F x y C F 1 0 displaystyle Phi x y C Phi 1 0 nbsp und dem Anfangswert F 1 0 0 displaystyle Phi 1 0 0 nbsp ergibt sich als Losung der impliziten Kurve x 4 x 2 y 2 0 displaystyle x 4 x 2 y 2 0 nbsp Integrierende Faktoren BearbeitenSiehe auch inexaktes Differential Fur eine gewohnliche Differentialgleichung der Form p x y q x y d y d x 0 displaystyle p x y q x y tfrac rm d y rm d x 0 nbsp welche die Integrabilitatsbedingung p y q x displaystyle tfrac partial p partial y tfrac partial q partial x nbsp nicht erfullt gibt es unter gewissen Regularitatsbedingungen stets eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion m x y 0 displaystyle mu x y neq 0 nbsp derart dass m x y p x y m x y q x y d y d x 0 displaystyle mu x y p x y mu x y q x y frac rm d y rm d x 0 nbsp eine exakte Differentialgleichung wird In diesem Fall wird m displaystyle mu nbsp als integrierender Faktor oder eulerscher Multiplikator bezeichnet Da m displaystyle mu nbsp nach Definition niemals Null wird hat die exakte Differentialgleichung dieselben Losungen wie vor der Multiplikation mit m displaystyle mu nbsp Dabei ist m x y displaystyle mu x y nbsp genau dann ein integrierender Faktor wenn die Integrabilitatsbedingung in der Darstellung m p y m q x displaystyle frac partial mu p partial y frac partial mu q partial x nbsp erfullt wird Es ist normalerweise schwierig diese partielle Differentialgleichung allgemein zu losen Da man aber nur eine spezielle Losung m x y displaystyle mu x y nbsp benotigt wird man versuchen mit speziellen Ansatzen fur m x y displaystyle mu x y nbsp eine Losung zu finden Solche Ansatze konnten beispielsweise lauten m m x m m y m m x y m m x y displaystyle mu mu x quad mu mu y quad mu mu x y quad mu mu xy nbsp Fur eine exakte Differentialform mit Potential F x y displaystyle Phi x y nbsp ist jede nullstellenfreie Funktion F F displaystyle Phi nbsp des Potentials ein integrierender Faktor Wenn man fur eine nicht exakte Differentialform einen integrierenden Faktor m displaystyle mu nbsp gefunden hat und damit ein Potential dann ist auch F F displaystyle Phi nbsp m displaystyle mu nbsp ebenfalls ein integrierender Faktor Integrierender Faktor µ x und µ y Bearbeiten Ein einfaches Beispiel fur einen integrierenden Faktor m displaystyle mu nbsp ist dann gegeben wenn dieser nur von einer Variablen x displaystyle x nbsp oder y displaystyle y nbsp abhangt 1 Zunachst wird der Fall betrachtet bei dem der integrierende Faktor nur von x displaystyle x nbsp abhangig ist und infolge dessen m y 0 displaystyle tfrac partial mu partial y 0 nbsp ist Unter dieser Voraussetzung ergibt die Integrabilitatsbedingung m p y m q x displaystyle frac partial mu p partial y frac partial mu q partial x nbsp im Zusammenhang mit der Produktregel folgende Darstellung m p y m q x q m x displaystyle mu frac partial p partial y mu frac partial q partial x q frac partial mu partial x nbsp und nach Umformen folgt q m x m p y q x displaystyle q frac partial mu partial x mu left frac partial p partial y frac partial q partial x right nbsp was sich auch schreiben lasst als 1 m m x 1 q p y q x displaystyle frac 1 mu frac partial mu partial x frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right nbsp Die Kettenregel fur die logarithmische Ableitung liefert schliesslich ln m x 1 q p y q x displaystyle frac partial ln mu partial x frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right nbsp Beidseitige Integration dieser Gleichung ergibt unter Auslassung der Integrationskonstanten ln m 1 q p y q x d x displaystyle ln mu int frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right mathrm d x nbsp oder m x exp 1 q p y q x d x exp f x d x displaystyle mu x exp left int frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right mathrm d x right exp left int f x mathrm d x right nbsp Demnach ist der integrierende Faktor m x displaystyle mu x nbsp nur von x displaystyle x nbsp abhangig wenn folgender Ausdruck nur eine Funktion von x displaystyle x nbsp ist 1 q p y q x f x displaystyle frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right f x nbsp Auf die gleiche Weise lasst sich zeigen dass der integrierende Faktor m y displaystyle mu y nbsp nur von y displaystyle y nbsp abhangt wenn 1 p p y q x f y displaystyle frac 1 p left frac partial p partial y frac partial q partial x right f y nbsp nur eine y displaystyle y nbsp Abhangigkeit hat und der integrierende Faktor lautet dann m y exp 1 p p y q x d y exp f y d y displaystyle mu y exp left int frac 1 p left frac partial p partial y frac partial q partial x right mathrm d y right exp left int f y mathrm d y right nbsp BeispielAusgehend von der Differentialgleichung 2 y 2 d x 2 x y d y 0 displaystyle 2y 2 mathrm d x 2xy mathrm d y 0 nbsp mit p x y 2 y 2 q x y 2 x y displaystyle p x y 2y 2 qquad q x y 2xy nbsp und p y 4 y q x 2 y displaystyle frac partial p partial y 4y qquad quad frac partial q partial x 2y nbsp wird erkennbar dass die Integrabilitatsbedingung nicht erfullt ist Da p displaystyle p nbsp nur von y displaystyle y nbsp abhangt ist es sinnvoll den integrierenden Faktor so zu wahlen dass m x displaystyle mu x nbsp nur von x displaystyle x nbsp abhangig ist und somit f x 1 q p y q x 1 2 x y 4 y 2 y 1 x displaystyle f x frac 1 q left frac partial p partial y frac partial q partial x right frac 1 2xy left 4y 2y right frac 1 x nbsp Also lautet der integrierende Faktor m x exp f x d x exp 1 x d x exp ln x x displaystyle mu x exp left int f x mathrm d x right exp left int frac 1 x mathrm d x right exp left ln x right x nbsp Integrierender Faktor m x y Bearbeiten Hangt f d e f 1 p q p y q x displaystyle f stackrel mathrm def frac 1 p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right nbsp von x y displaystyle x y nbsp ab so lautet der integrierende Faktor m x y exp 1 p q p y q x d x 1 p q p y q x d y d e f exp f t d t t x y displaystyle mu x y exp left int frac 1 p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right mathrm d x int frac 1 p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right mathrm d y right stackrel mathrm def exp left int f t mathrm d t right bigg t x y nbsp BeweisEs ist m p y m p y p m y exp f t d t t x y p y f x y exp f t d t t x y p exp f t d t t x y p y p p q p y q x displaystyle begin aligned frac partial mu p partial y amp mu frac partial p partial y p frac partial mu partial y exp left int f t mathrm d t right bigg t x y frac partial p partial y f x y exp left int f t mathrm d t right bigg t x y p amp exp left int f t mathrm d t right bigg t x y left frac partial p partial y frac p p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right right end aligned nbsp und auf die gleiche Weise ergibt sich m q x m q x q m x exp f t d t t x y q x f x y exp f t d t t x y q exp f t d t t x y q x q p q p y q x displaystyle begin aligned frac partial mu q partial x amp mu frac partial q partial x q frac partial mu partial x exp left int f t mathrm d t right bigg t x y frac partial q partial x f x y exp left int f t mathrm d t right bigg t x y q amp exp left int f t mathrm d t right bigg t x y left frac partial q partial x frac q p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right right end aligned nbsp Wird nun die Integrabilitatsbedingung in die Darstellung m p y m q x 0 displaystyle textstyle frac partial mu p partial y frac partial mu q partial x 0 nbsp gebracht so folgt m p y m q x exp f t d t t x y p y q x p p q p y q x q p q p y q x exp f t d t t x y p y q x p q p q p y q x exp f t d t t x y p y q x p y q x 0 displaystyle begin aligned frac partial mu p partial y frac partial mu q partial x amp exp left int f t mathrm d t right bigg t x y left frac partial p partial y frac partial q partial x frac p p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right frac q p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right right amp exp left int f t mathrm d t right bigg t x y left frac partial p partial y frac partial q partial x frac p q p q left frac partial p partial y frac partial q partial x right right amp exp left int f t mathrm d t right bigg t x y left frac partial p partial y frac partial q partial x frac partial p partial y frac partial q partial x right amp 0 end aligned nbsp displaystyle Box nbsp Literatur BearbeitenLudwig Bieberbach Theorie der Differentialgleichungen Springer reprint Berlin Heidelberg New York 1979 Seite 15 21 gescannte Seite 31 15 37 21 uni goettingen de Harro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Teubner 2009 6 Auflage Seite 91 102 ISBN 978 3 8348 0705 2 Wolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen Springer Verlag 2000 Seite 37 47 ISBN 3540676422 Jochen Merker Differentialgleichungen Skript Sommersemester 2011 Uni Rostock Seite 19 21Einzelnachweise Bearbeiten Harro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Teubner 2009 6 Auflage Seite 100 102 ISBN 978 3 8348 0705 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exakte Differentialgleichung amp oldid 231355026 Integrierende Faktoren
