Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1 Ordnung der Form y x a x y x b x displaystyle y prime x a x y x b x mit stetigen Funktionen a x b x displaystyle a x b x oder allgemeiner eine Differentialgleichung n Ordnung der Form y n x k 0 n 1 a k x y k x b x displaystyle textstyle y n x sum k 0 n 1 a k x y k x b x mit stetigen Funktionen a 0 x a n 1 x b x displaystyle a 0 x ldots a n 1 x b x Die Funktion b x displaystyle b x wird als Inhomogenitat der Differentialgleichung bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Losung 2 Beispiel 1 3 Beispiel 2 4 LiteraturLosung BearbeitenInhomogene lineare Differentialgleichungen konnen mit der Methode der Variation der Konstanten gelost werden Man bestimmt zunachst ein Fundamentalsystem y 1 x y n x displaystyle y 1 x ldots y n x nbsp von n displaystyle n nbsp Losungen der zugehorigen homogenen Gleichung y n x k 0 n 1 a k x y k x displaystyle textstyle y n x sum k 0 n 1 a k x y k x nbsp Im Fall 1 Ordnung y x a x y x b x displaystyle y prime x a x y x b x nbsp verwendet man nur eine Losung der Gleichung y x a x y x displaystyle y prime x a x y x nbsp Dann wahlt man den Ansatz y x k 1 n c k x y k x displaystyle y x sum k 1 n c k x y k x nbsp und lost die sich ergebenden Differentialgleichungen fur die Konstanten c 1 x c n x displaystyle c 1 x ldots c n x nbsp Beispiel 1 BearbeitenWir betrachten die Differentialgleichung y x x y x x e x 2 2 displaystyle y prime x xy x xe frac x 2 2 nbsp Die zugehorige homogene Gleichung y x x y x displaystyle y prime x xy x nbsp hat die Losungen y x C e x 2 2 displaystyle y x Ce frac x 2 2 nbsp Wir wahlen deshalb den Ansatz y x C x e x 2 2 displaystyle y x C x e frac x 2 2 nbsp woraus sich fur C x displaystyle C x nbsp die Differentialgleichung C x x displaystyle C prime x x nbsp mit Losung C x 1 2 x 2 D displaystyle C x frac 1 2 x 2 D nbsp ergibt Die Losungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form y x 1 2 x 2 e x 2 2 D e x 2 2 displaystyle y x frac 1 2 x 2 e frac x 2 2 De frac x 2 2 nbsp Beispiel 2 BearbeitenGegeben sei eine Differentialgleichung DGL wie sie z B fur lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung fur dynamische Systeme Verwendung findet x t a x t b u t displaystyle x prime t ax t bu t nbsp Die zugehorige homogene Differentialgleichung x t a x t displaystyle x prime t ax t nbsp hat folgende Losung x t e a t t 0 x 0 displaystyle x t e a t t 0 x 0 nbsp Die Losung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten Dazu wird auf die Losung der homogenen DGL aufgebaut Die Losungs Konstante x 0 displaystyle x 0 nbsp wird variiert und im Folgenden C t genannt Losungs Ansatz x t C t e a t t 0 displaystyle x t C t e a t t 0 nbsp Ableitung mit Kettenregel x t C t e a t t 0 C t a e a t t 0 displaystyle x prime t C prime t e a t t 0 C t ae a t t 0 nbsp Beides eingesetzt in die ursprungliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit e a t t 0 displaystyle e a t t 0 nbsp nach C t displaystyle C prime t nbsp aufgelost C t e a t t 0 C t a e a t t 0 a C t e a t t 0 b u t displaystyle C prime t e a t t 0 C t ae a t t 0 aC t e a t t 0 bu t nbsp C t e a t t 0 b u t displaystyle C prime t e a t t 0 bu t nbsp C t b u t e a t t 0 displaystyle C prime t bu t e a t t 0 nbsp Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert Der linke Term ergibt sich aus der Uberlegung dass die Ableitung von C t C t 0 displaystyle C t C t 0 nbsp ja C t displaystyle C prime t nbsp ergibt C t C t 0 t 0 t b u t e a t t 0 d t displaystyle C t C t 0 int t 0 t bu tau e a tau t 0 d tau nbsp Auflosung nach C t displaystyle C t nbsp und Verwendung von C t 0 x 0 displaystyle C t 0 x 0 nbsp C t t 0 t b u t e a t t 0 d t C t 0 displaystyle C t int t 0 t bu tau e a tau t 0 d tau C t 0 nbsp C t x 0 t 0 t b u t e a t t 0 d t displaystyle C t x 0 int t 0 t bu tau e a tau t 0 d tau nbsp Eingesetzt in obigen Losungs Ansatz x t C t e a t t 0 displaystyle x t C t e a t t 0 nbsp ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen x t x 0 t 0 t b u t e a t t 0 d t e a t t 0 displaystyle x t x 0 int t 0 t bu tau e a tau t 0 d tau cdot e a t t 0 nbsp x t e a t t 0 x 0 e a t t 0 t 0 t b u t e a t t 0 d t displaystyle x t e a t t 0 x 0 e a t t 0 int t 0 t bu tau e a tau t 0 d tau nbsp x t e a t t 0 x 0 t 0 t b u t e a t t 0 e a t t 0 d t displaystyle x t e a t t 0 x 0 int t 0 t bu tau e a t t 0 e a tau t 0 d tau nbsp x t e a t t 0 x 0 t 0 t b u t e a t a t 0 e a t a t 0 d t displaystyle x t e a t t 0 x 0 int t 0 t bu tau e at at 0 e a tau at 0 d tau nbsp Die Losung fur die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schliesslich zu x t e a t t 0 x 0 t 0 t b u t e a t t d t displaystyle x t e a t t 0 x 0 int t 0 t bu tau e a t tau d tau nbsp Literatur BearbeitenWolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 3 Auflage Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 16143 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inhomogene lineare Differentialgleichung amp oldid 236966784
