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Indexsatz für Blätterungen In der Mathematik ist der eine Verallgemeinerung des Atiyah Singer Indexsatzes Sein Spezialfa

Indexsatz für Blätterungen

In der Mathematik ist der Indexsatz für Blätterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Sein Spezialfall für Blätterungen durch Fasern eines Faserbündels ist der Familien-Indexsatz.

Sei eine Blätterung einer Mannigfaltigkeit , mit transversalem Maß und zugehörigem Ruelle-Sullivan-Strom , und sei ein blattweise elliptischer Operator. Dann ist das Integral über den Raum der Blätter endlich (wobei jeweils die Einschränkung von auf das Blatt bezeichnet), und

wobei das Hauptsymbol von , den Chern-Charakter und die Todd-Klasse von bezeichnet.

Zum Beispiel erhält man für den blattweisen Hodge-Laplace-Operator, wenn den Raum der harmonischen -Formen auf bezeichnet, dass endlich ist und für die Euler-Klasse des Tangentialbündels an die Blätter gilt.

Literatur Bearbeiten

  • A. Connes: Feuilletages et algèbres d'opérateurs. Semin. Bourbaki, Vol. 1979/80, Exp. 551, Lect. Notes Math. 842, 139–155 (1981).
  • A. Connes, G. Skandalis: The longitudinal index theorem for foliations. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20, 1139–1183 (1984).
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In der Mathematik ist der Indexsatz fur Blatterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah Singer Indexsatzes Sein Spezialfall fur Blatterungen durch Fasern eines Faserbundels ist der Familien Indexsatz Sei F displaystyle mathcal F eine Blatterung einer Mannigfaltigkeit M displaystyle M mit transversalem Mass L displaystyle Lambda und zugehorigem Ruelle Sullivan Strom C displaystyle C und sei D displaystyle D ein blattweise elliptischer Operator Dann ist das Integral uber den Raum der Blatter dim k e r D F d L F displaystyle int dim ker D F d Lambda F endlich wobei jeweils D F displaystyle D F die Einschrankung von D displaystyle D auf das Blatt F displaystyle F bezeichnet und dim ker D F d L F dim ker D F d L F c h s D T d M C displaystyle int dim ker D F d Lambda F int dim ker D F d Lambda F langle ch sigma D cdot Td M left C right rangle wobei s D displaystyle sigma D das Hauptsymbol von D displaystyle D c h displaystyle ch den Chern Charakter und T d M displaystyle Td M die Todd Klasse von M displaystyle M bezeichnet Zum Beispiel erhalt man fur den blattweisen Hodge Laplace Operator wenn H j F displaystyle H j F den Raum der harmonischen j displaystyle j Formen auf F displaystyle F bezeichnet dass b j dim H j F d L F displaystyle beta j int dim H j F d Lambda F endlich ist und j 1 j b j e T F C displaystyle sum j 1 j beta j langle e T mathcal F left C right rangle fur die Euler Klasse e T F displaystyle e T mathcal F des Tangentialbundels an die Blatter gilt Literatur BearbeitenA Connes Feuilletages et algebres d operateurs Semin Bourbaki Vol 1979 80 Exp 551 Lect Notes Math 842 139 155 1981 A Connes G Skandalis The longitudinal index theorem for foliations Publ Res Inst Math Sci 20 1139 1183 1984 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Indexsatz fur Blatterungen amp oldid 226476006