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Hyperbelzirkel des Frans van Schooten Der ist ein Mechanismus der die Form einer Hyperbel erzeugt Im Jahr 1657 veröffent

Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Der Hyperbelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus, der die Form einer Hyperbel erzeugt. Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk Exercitationum mathematicarum libri quinque in LIBER IV einen Hyperbelzirkel. Er ähnelt dem Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.

Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Im Wesentlichen besteht der Hyperbelzirkel aus drei Teilen:

  1. einer Raute mit den Gelenkpunkten mit der ersten Zirkelnadel im Brennpunkt ,
  2. einer Diagonalschiene aus zwei an den Enden verbundenen Stäben, mit dem Schreibstift in
  3. einer Führungsschiene mit der zweiten Zirkelnadel im Punkt . Die Führungsschiene ist nach dem Gelenkpunkt geschlitzt und verläuft durch den Punkt .

Drei sogenannte Gleitsteine ermöglichen linear bewegliche Verbindungen. Einer davon führt den Gelenkpunkt der Raute, der zweite den Schreibstift im Punkt und der dritte Gleitstein führt den Gelenkpunkt der Raute. Die Diagonalschiene ist nicht in einem Gelenkpunkt oder der Raute gelagert, sie ist deshalb in Längsrichtung von bis und von bis verschiebbar. Im Vergleich dazu ist im Ellipsenzirkel des Frans van Schooten der Diagonalstab im Gelenkpunkt der Raute gelagert.

Das Zeichnen einer Hyperbel mithilfe des Zeichenstiftes in soll die Hand verdeutlichen. Nach dem Einstechen des Zirkels in die Brennpunkte und wird mit einer Hand mithilfe eines Griffes im Punkt der Hyperbelzirkel bewegt. Dabei zwingt die Führungsschiene ( durch und ) zusammen mit der Diagonalschiene den Schreibstift in in eine hyperbelförmige Bahn.

Aufgrund der Darstellung ist anzunehmen, dass der Hyperbelzirkel in bestimmten labilen Lagen (u. a. wenn Brennpunkte und Zeichenstift auf einer Linie liegen) mit der anderen Hand, am Punkt oder einer Stützung bedarf.

Eine mögliche Begründung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Hyperbeln sind, ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben.

Geometrische Betrachtung Bearbeiten

Zur Verdeutlichung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel erzeugten Kurven exakte Hyperbeln sind, wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis bestimmt und im Anschluss daran der Hyperbelzirkel prinzipiell eingearbeitet. In Hyperbel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erläutert. Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten entnommen.

Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis Bearbeiten

Bild 1: Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis
oder
Basiskonstruktion für Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Mit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte, lautet eine maßgebende Aussage der Definition mit Leitkreis, bezogen auf den rechten Ast der Hyperbel:

Es beginnt mit dem Einzeichnen einer Geraden, der Mittelachse der späteren Hyperbel. Darauf wird der erste Scheitelpunkt beliebig markiert und anschließend, mit einem frei wählbaren Abstand, der zweite Scheitelpunkt festgelegt. Somit ist der Abstand der Scheitelpunkte, gleichbedeutend mit dem Radius des Leitkreises bestimmt. Nun setzt man mit einem abgeschätzten, aber gleichen Abstand zu bzw. jeweils nach außen, die Brennpunkte und Mit den gewählten Brennpunkten und sowie mit einem der beiden Scheitelpunkte oder (drei bekannte Punkte) ist die Hyperbel bereits mathematisch bestimmt. Die Hyperbel (grün) kann z. B. mithilfe einer Dynamischen‐Geometrie‐Software (DGS) eingetragen werden.

Es geht weiter mit dem Ziehen des Leitkreises um mit dem Radius für den rechten Ast der Hyperbel; es ergibt den Hilfspunkt Um den Punkt zu finden, der zum Brennpunkt den gleichen Abstand hat wie zum Leitkreis zieht man mit beliebigem Radius, aber mit derselben Zirkelöffnung um den Kreis und um den Kreis dabei ergibt sich der zweite Hilfspunkt Wird jetzt ein Kreis mit dem Radius um eingezeichnet, wird sozusagen der Radius des Kreises zum Radius des Leitkreises addiert. Der Schnittpunkt des Kreises mit ist der gesuchte Punkt

Die nun folgende Halbgerade ab durch schneidet den Leitkreis in und liefert das gleichschenklige Dreieck (rosa) mit den beiden gleich langen Seitenlängen und Abschließend wird noch die Mittelsenkrechte des Abstandes eingetragen; wegen des gleichschenkligen Dreiecks verläuft sie durch den Punkt Daraus folgt:

das gleichschenklige Dreieck mit

ist eine halbe Raute, in der die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende des Winkels Tangenten der Hyperbel sind. Somit ist der konstruierte Punkt ein Hyperbelpunkt.

Konstruktion des Hyperbelzirkels Bearbeiten

  • Damit der Hyperbelzirkel eine komplette Hyperbellinie zeichnen kann, ist es erforderlich, dass die Führungsschiene (ab durch ) oberhalb der Raute (Zirkelnadel in ) liegt. Anzumerken ist, in der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten liegt die Führungsschiene unterhalb der Raute. Mit dieser Position der Führungsschiene kann die Hyperbellinie nicht durch den Scheitelpunkt gezogen werden, sondern nur, z. B. gegen den Uhrzeigersinn, bis die Führungsschiene an der Zirkelnadel in der Raute anliegt.

Die Prinzipskizze (Bild 2) ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis (Bild 1). Für eine bessere Übersichtlichkeit wurden die irrelevanten Kreise, Punkte etc. ausgeblendet. Der Leitkreis sowie u. a. die Punkte und sind bereits in der vorangegangenen Konstruktion (Bild 1) bestimmt, es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Hyperbelzirkels.

Zuerst werden die zwei Seitenlängen und der Raute, mit abgeschätzter Zirkelöffnung, deutlich größer als der Abstand , auf der Mittelsenkrechten festgelegt. Die Verbindung der Gelenkpunkte mit sowie mit schließt sich an und vollendet die Raute mit dem gleichschenkligen Dreieck (hellblau). Es folgt das Einzeichnen der Diagonalschiene, deren Länge größer ist, als die Diagonale der Raute. Abschließend wird die Führungsschiene ab durch eingezeichnet. Sie schneidet die Diagonalschiene , wie vorgegeben, ebenfalls im Hyperbelpunkt des gleichschenkligen Dreiecks (rosa).

Bild 2: Prinzipskizze, Führungsschiene
(ab durch ) liegt oberhalb der Raute
Animation der Prinzipskizze

Hyperbel zeichnen Bearbeiten

Wird der Hyperbelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt, läuft der Punkt auf dem Leitkreis und der Schreibstift () im Spalt der Diagonalschiene Die Führungsschiene ( durch und ) zwingt die Diagonalschiene als konstante Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke und , zu wirken. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem Hyperbelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Hyperbeln.

Siehe auch Bearbeiten

Fadenkonstruktion einer Hyperbel

Literatur Bearbeiten

  • C. Edward Sandifer: Van Schooten’s Ruler Constructions. In: Convergence August 2010. August 2010, doi:10.4169/convergence20141101 (englisch, Onlineversion vom November 2014).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri quinque. Lugdunum Batavorum (= Johannes Elsevir, Leiden 1657, Inhaltsübersicht, books.google.de).
  2. Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri V. Buch IV. Johannes Elsevir, Leiden 1657 S. 293 (books.google.de).
  3. Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri V. Band IV. Johannes Elsevir, Leiden 1657, S. 349 (books.google.de).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Hyperbelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus der die Form einer Hyperbel erzeugt Im Jahr 1657 veroffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk Exercitationum mathematicarum libri quinque 1 in LIBER IV 2 einen Hyperbelzirkel 3 Er ahnelt dem Ellipsenzirkel des Frans van Schooten Hyperbelzirkel des Frans van SchootenIm Wesentlichen besteht der Hyperbelzirkel aus drei Teilen einer Raute mit den Gelenkpunkten D L F M displaystyle DLFM mit der ersten Zirkelnadel im Brennpunkt F displaystyle F einer Diagonalschiene N O displaystyle NO aus zwei an den Enden verbundenen Staben mit dem Schreibstift in e displaystyle e einer Fuhrungsschiene mit der zweiten Zirkelnadel im Punkt C displaystyle C Die Fuhrungsschiene ist nach dem Gelenkpunkt D displaystyle D geschlitzt und verlauft durch den Punkt e displaystyle e Drei sogenannte Gleitsteine ermoglichen linear bewegliche Verbindungen Einer davon fuhrt den Gelenkpunkt L displaystyle L der Raute der zweite den Schreibstift im Punkt e displaystyle e und der dritte Gleitstein fuhrt den Gelenkpunkt M displaystyle M der Raute Die Diagonalschiene N O displaystyle NO ist nicht in einem Gelenkpunkt M displaystyle M oder L displaystyle L der Raute gelagert sie ist deshalb in Langsrichtung von O displaystyle O bis L displaystyle L und von N displaystyle N bis M displaystyle M verschiebbar Im Vergleich dazu ist im Ellipsenzirkel des Frans van Schooten der Diagonalstab O Q displaystyle OQ im Gelenkpunkt O displaystyle O der Raute gelagert Das Zeichnen einer Hyperbel mithilfe des Zeichenstiftes in e displaystyle e soll die Hand verdeutlichen Nach dem Einstechen des Zirkels in die Brennpunkte C displaystyle C und F displaystyle F wird mit einer Hand mithilfe eines Griffes im Punkt e displaystyle e der Hyperbelzirkel bewegt Dabei zwingt die Fuhrungsschiene C displaystyle C durch D displaystyle D und e displaystyle e zusammen mit der Diagonalschiene N O displaystyle NO den Schreibstift in e displaystyle e in eine hyperbelformige Bahn Aufgrund der Darstellung ist anzunehmen dass der Hyperbelzirkel in bestimmten labilen Lagen u a wenn Brennpunkte und Zeichenstift auf einer Linie liegen mit der anderen Hand am Punkt M displaystyle M oder L displaystyle L einer Stutzung bedarf Eine mogliche Begrundung weshalb die mit dem Hyperbelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Hyperbeln sind ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Betrachtung 1 1 Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis 1 2 Konstruktion des Hyperbelzirkels 1 3 Hyperbel zeichnen 2 Siehe auch 3 Literatur 4 EinzelnachweiseGeometrische Betrachtung BearbeitenZur Verdeutlichung weshalb die mit dem Hyperbelzirkel erzeugten Kurven exakte Hyperbeln sind wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Hyperbelpunkt e displaystyle e nbsp nach Definition mit Leitkreis bestimmt und im Anschluss daran der Hyperbelzirkel prinzipiell eingearbeitet In Hyperbel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erlautert Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originaren Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten entnommen Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis Bearbeiten nbsp Bild 1 Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis k L displaystyle k L nbsp e k L e F displaystyle ek L eF nbsp oder e D e F displaystyle eD eF nbsp Basiskonstruktion fur Hyperbelzirkel des Frans van SchootenMit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte lautet eine massgebende Aussage der Definition mit Leitkreis bezogen auf den rechten Ast der Hyperbel Ist k L displaystyle k L nbsp der Kreis um C displaystyle C nbsp mit Radius 2 a displaystyle 2a nbsp so hat e displaystyle e nbsp vom Kreis k L displaystyle k L nbsp denselben Abstand wie vom Brennpunkt F displaystyle F nbsp e k L e F displaystyle ek L eF nbsp Man nennt k L displaystyle k L nbsp den zu F displaystyle F nbsp gehorigen Leitkreis der Hyperbel Es beginnt mit dem Einzeichnen einer Geraden der Mittelachse der spateren Hyperbel Darauf wird der erste Scheitelpunkt E displaystyle E nbsp beliebig markiert und anschliessend mit einem frei wahlbaren Abstand der zweite Scheitelpunkt K displaystyle K nbsp festgelegt Somit ist der Abstand E K displaystyle EK nbsp der Scheitelpunkte gleichbedeutend mit dem Radius 2 a displaystyle 2a nbsp des Leitkreises k L displaystyle k L nbsp bestimmt Nun setzt man mit einem abgeschatzten aber gleichen Abstand zu E displaystyle E nbsp bzw K displaystyle K nbsp jeweils nach aussen die Brennpunkte C displaystyle C nbsp und F displaystyle F nbsp Mit den gewahlten Brennpunkten C displaystyle C nbsp und F displaystyle F nbsp sowie mit einem der beiden Scheitelpunkte E displaystyle E nbsp oder K displaystyle K nbsp drei bekannte Punkte ist die Hyperbel bereits mathematisch bestimmt Die Hyperbel grun kann z B mithilfe einer Dynamischen Geometrie Software DGS eingetragen werden Es geht weiter mit dem Ziehen des Leitkreises k L displaystyle k L nbsp um C displaystyle C nbsp mit dem Radius E K 2 a displaystyle EK 2a nbsp fur den rechten Ast der Hyperbel es ergibt den Hilfspunkt A displaystyle A nbsp Um den Punkt e displaystyle e nbsp zu finden der zum Brennpunkt F displaystyle F nbsp den gleichen Abstand hat wie zum Leitkreis k L displaystyle k L nbsp zieht man mit beliebigem Radius aber mit derselben Zirkeloffnung um F displaystyle F nbsp den Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp und um A displaystyle A nbsp den Kreis k 2 displaystyle k 2 nbsp dabei ergibt sich der zweite Hilfspunkt B displaystyle B nbsp Wird jetzt ein Kreis k 3 displaystyle k 3 nbsp mit dem Radius C B displaystyle CB nbsp um C displaystyle C nbsp eingezeichnet wird sozusagen der Radius A B displaystyle AB nbsp des Kreises k 2 displaystyle k 2 nbsp zum Radius C A displaystyle CA nbsp des Leitkreises k L displaystyle k L nbsp addiert Der Schnittpunkt des Kreises k 3 displaystyle k 3 nbsp mit k 1 displaystyle k 1 nbsp ist der gesuchte Punkt e displaystyle e nbsp Die nun folgende Halbgerade H G displaystyle H G nbsp ab C displaystyle C nbsp durch e displaystyle e nbsp schneidet den Leitkreis k L displaystyle k L nbsp in D displaystyle D nbsp und liefert das gleichschenklige Dreieck D F e displaystyle DFe nbsp rosa mit den beiden gleich langen Seitenlangen e D displaystyle overline eD nbsp und e F displaystyle overline eF nbsp Abschliessend wird noch die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp des Abstandes D F displaystyle DF nbsp eingetragen wegen des gleichschenkligen Dreiecks D F e displaystyle DFe nbsp verlauft sie durch den Punkt e displaystyle e nbsp Daraus folgt das gleichschenklige Dreieck D F e displaystyle DFe nbsp mit e D e F displaystyle eD eF nbsp ist eine halbe Raute in der die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp und die Winkelhalbierende des Winkels D e F displaystyle DeF nbsp Tangenten der Hyperbel sind Somit ist der konstruierte Punkt e displaystyle e nbsp ein Hyperbelpunkt Konstruktion des Hyperbelzirkels Bearbeiten Damit der Hyperbelzirkel eine komplette Hyperbellinie zeichnen kann ist es erforderlich dass die Fuhrungsschiene ab C displaystyle C nbsp durch D displaystyle D nbsp oberhalb der Raute D L F M displaystyle DLFM nbsp Zirkelnadel in F displaystyle F nbsp liegt Anzumerken ist in der obigen originaren Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten liegt die Fuhrungsschiene unterhalb der Raute Mit dieser Position der Fuhrungsschiene kann die Hyperbellinie nicht durch den Scheitelpunkt K displaystyle K nbsp gezogen werden sondern nur z B gegen den Uhrzeigersinn bis die Fuhrungsschiene an der Zirkelnadel in F displaystyle F nbsp der Raute anliegt Die Prinzipskizze Bild 2 ist eine Weiterfuhrung der Basiskonstruktion Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis k L displaystyle k L nbsp Bild 1 Fur eine bessere Ubersichtlichkeit wurden die irrelevanten Kreise Punkte etc ausgeblendet Der Leitkreis k L displaystyle k L nbsp sowie u a die Punkte D displaystyle D nbsp und F displaystyle F nbsp sind bereits in der vorangegangenen Konstruktion Bild 1 bestimmt es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Hyperbelzirkels Zuerst werden die zwei Seitenlangen F M displaystyle overline FM nbsp und F L displaystyle overline FL nbsp der Raute mit abgeschatzter Zirkeloffnung deutlich grosser als der Abstand F e displaystyle Fe nbsp auf der Mittelsenkrechten M S displaystyle M S nbsp festgelegt Die Verbindung der Gelenkpunkte D displaystyle D nbsp mit M displaystyle M nbsp sowie D displaystyle D nbsp mit L displaystyle L nbsp schliesst sich an und vollendet die Raute F M D L displaystyle FMDL nbsp mit dem gleichschenkligen Dreieck F D L displaystyle FDL nbsp hellblau Es folgt das Einzeichnen der Diagonalschiene deren Lange N O displaystyle overline NO nbsp grosser ist als die Diagonale L M displaystyle LM nbsp der Raute Abschliessend wird die Fuhrungsschiene ab C displaystyle C nbsp durch D displaystyle D nbsp eingezeichnet Sie schneidet die Diagonalschiene N O displaystyle NO nbsp wie vorgegeben ebenfalls im Hyperbelpunkt e displaystyle e nbsp des gleichschenkligen Dreiecks D F e displaystyle DFe nbsp rosa nbsp Bild 2 Prinzipskizze Fuhrungsschiene ab C displaystyle C nbsp durch D displaystyle D nbsp liegt oberhalb der Raute D L F M displaystyle DLFM nbsp nbsp Animation der Prinzipskizze Hyperbel zeichnen Bearbeiten Wird der Hyperbelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt lauft der Punkt D displaystyle D nbsp auf dem Leitkreis k L displaystyle k L nbsp und der Schreibstift e displaystyle e nbsp im Spalt der Diagonalschiene N O displaystyle NO nbsp Die Fuhrungsschiene C displaystyle C nbsp durch D displaystyle D nbsp und e displaystyle e nbsp zwingt die Diagonalschiene N O displaystyle NO nbsp als konstante Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp der sich kontinuierlich verandernden gleichschenkligen Dreiecke F D L displaystyle FDL nbsp und D F e displaystyle DFe nbsp zu wirken Daraus folgt In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt e D e F displaystyle eD eF nbsp Damit wird aufgezeigt Die mit dem Hyperbelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Hyperbeln Siehe auch BearbeitenFadenkonstruktion einer HyperbelLiteratur BearbeitenC Edward Sandifer Van Schooten s Ruler Constructions In Convergence August 2010 August 2010 doi 10 4169 convergence20141101 englisch Onlineversion vom November 2014 Einzelnachweise Bearbeiten Frans van Schooten Exercitationum mathematicarum libri quinque Lugdunum Batavorum Johannes Elsevir Leiden 1657 Inhaltsubersicht books google de Frans van Schooten Exercitationum mathematicarum libri V Buch IV Johannes Elsevir Leiden 1657 S 293 books google de Frans van Schooten Exercitationum mathematicarum libri V Band IV Johannes Elsevir Leiden 1657 S 349 books google de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbelzirkel des Frans van Schooten amp oldid 237363216