www.wikidata.de-de.nina.az

Hochhebungseigenschaft Die englisch Lifting property ist ein Begriff aus der Kategorientheorie Er bezeichnet eine Eigens

Hochhebungseigenschaft

Die Hochhebungseigenschaft (englisch Lifting property) ist ein Begriff aus der Kategorientheorie. Er bezeichnet eine Eigenschaft zweier Morphismen. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Modellkategorien. Ein wichtiger Spezialfall der Hochhebungsseigenschaft ist die Homotopie-Hochhebungseigenschaft aus der Topologie.

Definition Bearbeiten

Zwei Morphismen und in einer Kategorie haben die Hochhebungseigenschaft, notiert , falls für jeden Morphismus und in mit ein Morphismus existiert, genannt Hochhebung (en. Lift), so dass und .

Das heißt, für das mittels der durchgezogenen Linien dargestellte kommutative Diagramm existiert ein Morphismus , so dass folgendes Diagramm kommutiert:

Man sagt, hat die linke Hochhebungseigenschaft und die rechte Hochhebungseigenschaft.

Erläuterungen Bearbeiten

Wenn eindeutig ist, nennt man orthogonal zu und schreibt .

Seien , dann hat die linke Hochhebungseigenschaft und die rechte Hochhebungseigenschaft, geschrieben , wenn für alle , gilt .

Für ein lassen sich somit die Mengen der zu links bzw. rechts orthogonalen definieren:

Beispiele Bearbeiten

  • In der Kategorie der Mengen ist eine Funktion genau dann injektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich hat, und genau dann surjektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich hat.
  • Sei ein topologischer Raum und eine Überlagerung von mit Überlagerungsabbildung . Sei die einelementige Menge und , dann hat der Morphismus , der die einelementige Menge auf abbildet, die linke Hochhebungseigenschaft bezüglich . Sei ein Weg und Morphismus, der die einelementige Menge auf einen beliebigen Punkt abbildet, dann gibt es genau einen Morphismus , so dass das obige Diagramm kommutiert.

Literatur Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Hochhebungseigenschaft englisch Lifting property ist ein Begriff aus der Kategorientheorie Er bezeichnet eine Eigenschaft zweier Morphismen Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Modellkategorien Ein wichtiger Spezialfall der Hochhebungsseigenschaft ist die Homotopie Hochhebungseigenschaft aus der Topologie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Erlauterungen 2 Beispiele 3 LiteraturDefinition BearbeitenZwei Morphismen m A X displaystyle m colon A to X nbsp und p B Y displaystyle p colon B to Y nbsp in einer Kategorie K displaystyle mathbf K nbsp haben die Hochhebungseigenschaft notiert m p displaystyle m downarrow p nbsp falls fur jeden Morphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp und g X Y displaystyle g colon X to Y nbsp in K displaystyle mathbf K nbsp mit p f g m displaystyle p circ f g circ m nbsp ein Morphismus h X B displaystyle h colon X to B nbsp existiert genannt Hochhebung en Lift so dass h m f displaystyle h circ m f nbsp und p h g displaystyle p circ h g nbsp Das heisst fur das mittels der durchgezogenen Linien dargestellte kommutative Diagramm existiert ein Morphismus h X B displaystyle h colon X to B nbsp so dass folgendes Diagramm kommutiert nbsp Man sagt m displaystyle m nbsp hat die linke Hochhebungseigenschaft und p displaystyle p nbsp die rechte Hochhebungseigenschaft Erlauterungen Bearbeiten Wenn h displaystyle h nbsp eindeutig ist nennt man m displaystyle m nbsp orthogonal zu p displaystyle p nbsp und schreibt m p displaystyle m perp p nbsp Seien S T K displaystyle S T subseteq mathbf K nbsp dann hat S displaystyle S nbsp die linke Hochhebungseigenschaft und T displaystyle T nbsp die rechte Hochhebungseigenschaft geschrieben S T displaystyle S downarrow T nbsp wenn fur alle f hom S displaystyle f in operatorname hom S nbsp g hom T displaystyle g in operatorname hom T nbsp gilt f g displaystyle f downarrow g nbsp Fur ein S K displaystyle S subseteq mathbf K nbsp lassen sich somit die Mengen der zu S displaystyle S nbsp links bzw rechts orthogonalen definieren S ℓ i p S i p S r p i S i p displaystyle begin aligned S perp ell amp i mid forall p in S i perp p S perp r amp p mid forall i in S i perp p end aligned nbsp Beispiele BearbeitenIn der Kategorie der Mengen S e t displaystyle mathbf Set nbsp ist eine Funktion p B Y displaystyle p colon B to Y nbsp genau dann injektiv wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezuglich 2 2 1 displaystyle 2 colon 2 to 1 nbsp hat und genau dann surjektiv wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezuglich 1 displaystyle emptyset colon emptyset to 1 nbsp hat Sei Y displaystyle Y nbsp ein topologischer Raum und B displaystyle B nbsp eine Uberlagerung von Y displaystyle Y nbsp mit Uberlagerungsabbildung p B Y displaystyle p B to Y nbsp Sei A displaystyle A nbsp die einelementige Menge und X 0 1 displaystyle X 0 1 nbsp dann hat der Morphismus m A X displaystyle m A to X nbsp der die einelementige Menge auf 0 0 1 displaystyle 0 in 0 1 nbsp abbildet die linke Hochhebungseigenschaft bezuglich p displaystyle p nbsp Sei g X Y displaystyle g X to Y nbsp ein Weg und f A B displaystyle f A to B nbsp Morphismus der die einelementige Menge auf einen beliebigen Punkt p 1 g 0 B displaystyle p 1 g 0 in B nbsp abbildet dann gibt es genau einen Morphismus h X B displaystyle h X to B nbsp so dass das obige Diagramm kommutiert Literatur BearbeitenMark Hovey Monoidal model categories 1999 arxiv math 9803002 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hochhebungseigenschaft amp oldid 223678794