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Hassell Gleichung Die auch Hassel Gleichung ist eine von mehreren möglichen Gleichungen die in der Theoretischen Biologi

Hassell-Gleichung

Die Hassell-Gleichung (auch Hassel-Gleichung) ist eine von mehreren möglichen Gleichungen, die in der Theoretischen Biologie zur Beschreibung von dichteregulierten Wachstumsvorgängen verwendet werden. Die Dichteregulation geschieht beispielsweise dadurch, dass eine bestimmte Ressource knapp wird, wenn die Population wächst, und dadurch die Wachstumsrate sinkt. Die von Michael Hassell vorgeschlagene Gleichung hat die Form

ist hierbei die Größe oder Dichte der Population. Der Parameter beschreibt die Wachstumsrate ohne Dichteregulation, wobei bei unbeschränkten Ressourcen eine konstante Population bedeuten würde, eine Zunahme und eine Abnahme. ist ein Maß für die Stärke der Dichteregulation.

Für beschreibt der Ausdruck eine sogenannte scramble competition, bei der die knappe Ressource gleich unter den Individuen aufgeteilt wird. Hierdurch sinkt der Fortpflanzungserfolg für alle Individuen und die Wachstumsrate fällt für große gegen Null. Für beschreibt der Ausdruck eine contest competition, bei der die knappe Ressource unter den Individuen ungleich aufgeteilt wird, beispielsweise weil sich einige Individuen gegen andere durchsetzen können.

Dynamik Bearbeiten

Für (Population sinkt trotz ausreichender Ressource) tritt, wie auch anschaulich klar, unabhängig von nur der triviale Fixpunkt Null auf, welcher auch global stabil ist.

Für erhält man aus der Fixpunktgleichung

einen weiteren Fixpunkt .

Für fallen diese beiden Fixpunkte zusammen.

Wie aus der Theorie dynamischer Systeme bekannt, entscheiden Vorzeichen und Betrag der ersten Ableitung über die Stabilität des Fixpunktes und das Verhalten des Systems in seiner Umgebung.

Es ergibt sich:

Der Nulldurchgang und damit der Wechsel von einem um den Fixpunkt oszillierenden, stabilen System zu einem monoton gegen den Fixpunkt konvergierenden stabilen System erfolgt bei

Anwendung Bearbeiten

Setzt man für eine Populationsdichte ein, ergibt sich ein Ausdruck der, unter bestimmten Voraussetzungen, dazu verwendet werden kann, die zeitliche Entwicklung einer Population von Organismen mit nichtüberlappenden Generationen zu modellieren. Beispielsweise geschieht die Beschreibung der zeitlichen Dynamik von Insektenpopulationen oft in dieser Form.

Literatur Bearbeiten

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Die Hassell Gleichung auch Hassel Gleichung ist eine von mehreren moglichen Gleichungen die in der Theoretischen Biologie zur Beschreibung von dichteregulierten Wachstumsvorgangen verwendet werden Die Dichteregulation geschieht beispielsweise dadurch dass eine bestimmte Ressource knapp wird wenn die Population wachst und dadurch die Wachstumsrate sinkt Die von Michael Hassell vorgeschlagene Gleichung hat die Form f r b x r x 1 x b displaystyle f r b x frac rx 1 x b x displaystyle x ist hierbei die Grosse oder Dichte der Population Der Parameter r displaystyle r beschreibt die Wachstumsrate ohne Dichteregulation wobei r 1 displaystyle r 1 bei unbeschrankten Ressourcen eine konstante Population bedeuten wurde r gt 1 displaystyle r gt 1 eine Zunahme und r lt 1 displaystyle r lt 1 eine Abnahme b displaystyle b ist ein Mass fur die Starke der Dichteregulation Fur b gt 1 displaystyle b gt 1 beschreibt der Ausdruck eine sogenannte scramble competition bei der die knappe Ressource gleich unter den Individuen aufgeteilt wird Hierdurch sinkt der Fortpflanzungserfolg fur alle Individuen und die Wachstumsrate fallt fur grosse x displaystyle x gegen Null Fur b lt 1 displaystyle b lt 1 beschreibt der Ausdruck eine contest competition bei der die knappe Ressource unter den Individuen ungleich aufgeteilt wird beispielsweise weil sich einige Individuen gegen andere durchsetzen konnen Dynamik BearbeitenFur r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp Population sinkt trotz ausreichender Ressource tritt wie auch anschaulich klar unabhangig von b displaystyle b nbsp nur der triviale Fixpunkt Null auf welcher auch global stabil ist Fur r gt 1 displaystyle r gt 1 nbsp erhalt man aus der Fixpunktgleichung x r x 1 x b displaystyle x frac rx 1 x b nbsp einen weiteren Fixpunkt x r 1 b 1 displaystyle x r frac 1 b 1 nbsp Fur r 1 displaystyle r 1 nbsp fallen diese beiden Fixpunkte zusammen Wie aus der Theorie dynamischer Systeme bekannt entscheiden Vorzeichen und Betrag der ersten Ableitung f x r b displaystyle f x r b nbsp uber die Stabilitat des Fixpunktes x displaystyle x nbsp und das Verhalten des Systems in seiner Umgebung Es ergibt sich f 1 b b r 1 b displaystyle f 1 b frac b r frac 1 b nbsp Der Nulldurchgang und damit der Wechsel von einem um den Fixpunkt oszillierenden stabilen System zu einem monoton gegen den Fixpunkt konvergierenden stabilen System erfolgt bei r b b 1 b displaystyle r left frac b b 1 right b nbsp Anwendung BearbeitenSetzt man fur x displaystyle x nbsp eine Populationsdichte N displaystyle N nbsp ein ergibt sich ein Ausdruck der unter bestimmten Voraussetzungen dazu verwendet werden kann die zeitliche Entwicklung einer Population von Organismen mit nichtuberlappenden Generationen zu modellieren Beispielsweise geschieht die Beschreibung der zeitlichen Dynamik von Insektenpopulationen oft in dieser Form Literatur BearbeitenNicholas F Britton Essential Mathematical Biology Springer ISBN 1 85233 536 X Einfuhrung in die mathematische Biologie Universitat Stuttgart PDF Datei 2 40 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hassell Gleichung amp oldid 183801750