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Gesetz der Nachfrage Als englisch law of demand bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre ein häufig benutztes Theorem

Gesetz der Nachfrage

Als Gesetz der Nachfrage (englisch law of demand) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre ein häufig benutztes Theorem, das in der einfachsten Version besagt, dass die Nachfrage nach einem normalen Gut abnimmt, wenn sich sein Preis erhöht. Dabei bezeichnet man ein Gut als normal, wenn eine Erhöhung des Einkommens dazu führt, dass mehr von dem Gut nachgefragt wird.

Formale Definition und Herleitung Bearbeiten

Theorem Bearbeiten

Sei die marshallsche Nachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit von einem Preisvektor und dem individuellen Einkommen . (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

Gesetz der Nachfrage: Sei i ein normales Gut, das heißt sei , dann gilt:

Beweis Bearbeiten

Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach

(Für eine Erläuterung wird auf den Artikel Slutsky-Gleichung verwiesen.) Im Eigenpreisfall i=j geht aus dieser unmittelbar hervor, dass der Einkommenseffekt negativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). Der Substitutionseffekt ist jedoch ebenfalls negativ, da die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt aus Shephards Lemma: Wegen auch . Da die Ausgabenfunktion aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung .

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

Gesetz der kompensierten Nachfrage Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Gesetz der kompensierten Nachfrage: Betrachte zwei beliebige Preistupel und , wobei aus durch eine Slutsky-kompensierte Preisänderung hervorgegangen ist. Dann erfüllt die marshallsche Nachfragefunktion das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann, wenn gilt:

Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen Bearbeiten

Vorüberlegung Bearbeiten

Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise und das Haushaltseinkommen ein optimales Güterbundel wählt. Nun falle der Preis von Gut i von auf , woraus ein neues Preistupel resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel, , auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus also gleich dem aus . Da der Haushalt beim Preissystem das Güterbündel und nicht gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen (weak axiom of revealed preferences – WARP) das Güterbündel zu Preisen mindestens so teuer gewesen sein als , da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre, zu wählen. Formal:

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel dem Bündel vorzuziehen – sonst hätte er nicht gewählt. Das Güterbündel kann also zu Preisen nicht teurer sein als das Bündel , das heißt

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort

was zu zeigen war.

Äquivalenz zu WARP Bearbeiten

In der Vorüberlegung wird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.

Äquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage: Sei die Marshallsche Nachfragefunktion homogen vom Grade null und genüge sie dem Walras-Gesetz. Dann genügt dem schwachen Axiom offenbarter Präferenzen genau dann (und nur dann), wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfüllt ist.

Literatur Bearbeiten

  • Richard Cornes: Duality and modern economics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1992, ISBN 0-521-33601-5.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
  • Nolan H. Miller: Notes on Microeconomic Theory. (Memento vom 15. Dezember 2011 im Internet Archive) (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015. [Hier S. 23 ff.]
  • Hal Varian: Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hal Varian, Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl., 2010, S. 147; Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl., 2011, S. 56.
  2. Vgl. nur Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl., 2011, S. 53–56.
  3. Richard Cornes, Duality and modern economics, 1992, S. 64 f.; Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, Microeconomic Theory, 1995, S. 28–30.
  4. Die nachfolgende Darstellung der Herleitung folgt Cornes 1992, S. 64.
  5. Vgl., auch zum Beweis, Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 30 f.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Gesetz der Nachfrage englisch law of demand bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre ein haufig benutztes Theorem das in der einfachsten Version besagt dass die Nachfrage nach einem normalen Gut abnimmt wenn sich sein Preis erhoht Dabei bezeichnet man ein Gut als normal wenn eine Erhohung des Einkommens dazu fuhrt dass mehr von dem Gut nachgefragt wird Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition und Herleitung 1 1 Theorem 1 2 Beweis 2 Gesetz der kompensierten Nachfrage 2 1 Definition 2 2 Zusammenhang zur Theorie offenbarter Praferenzen 2 2 1 Voruberlegung 2 2 2 Aquivalenz zu WARP 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormale Definition und Herleitung BearbeitenTheorem Bearbeiten Sei x i p y displaystyle x i mathbf p y nbsp die marshallsche Nachfrage nach einem Gut i displaystyle i nbsp in Abhangigkeit von einem Preisvektor p p 1 p n displaystyle mathbf p p 1 ldots p n nbsp und dem individuellen Einkommen y displaystyle y nbsp Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gutermenge in Abhangigkeit von den Guterpreisen an die erforderlich ist um mit einem gegebenen Einkommen y displaystyle y nbsp ein moglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen Gesetz der Nachfrage 1 Sei i ein normales Gut das heisst sei x i p y y gt 0 displaystyle partial x i mathbf p y partial y gt 0 nbsp dann gilt x i p y p i lt 0 displaystyle frac partial x i mathbf p y partial p i lt 0 nbsp Beweis Bearbeiten Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky Gleichung wonach x i p y p j G e s a m t e f f e k t x i h p u p j S u b s t i t u t i o n s e f f e k t x j p y x i p y y E i n k o m m e n s e f f e k t displaystyle underbrace frac partial x i mathbf p y partial p j mathrm Gesamteffekt underbrace frac partial x i h mathbf p overline u partial p j mathrm Substitutionseffekt underbrace x j mathbf p y frac partial x i mathbf p y partial y mathrm Einkommenseffekt nbsp Fur eine Erlauterung wird auf den Artikel Slutsky Gleichung verwiesen Im Eigenpreisfall i j geht aus dieser unmittelbar hervor dass der Einkommenseffekt negativ ist gemass der Annahme von Normalitat Der Substitutionseffekt ist jedoch ebenfalls negativ da die Hicks sche Nachfrage nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fallt Dies folgt aus Shephards Lemma 2 Wegen x i h p u e p u p i displaystyle x i h mathbf p overline u partial e mathbf p overline u partial p i nbsp auch x i h p u p i 2 e p u p i 2 displaystyle partial x i h mathbf p overline u partial p i partial 2 e mathbf p overline u partial p i 2 nbsp Da die Ausgabenfunktion e displaystyle e nbsp aber konkav ist ist diese partielle Ableitung 0 displaystyle leq 0 nbsp Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ was zu zeigen war Gesetz der kompensierten Nachfrage BearbeitenDefinition Bearbeiten Gesetz der kompensierten Nachfrage 3 Betrachte zwei beliebige Preistupel p 0 p 1 0 p n 0 displaystyle mathbf p 0 left p 1 0 ldots p n 0 right nbsp und p 1 p 1 1 p n 1 displaystyle mathbf p 1 left p 1 1 ldots p n 1 right nbsp wobei p 1 displaystyle mathbf p 1 nbsp aus p 0 displaystyle mathbf p 0 nbsp durch eine Slutsky kompensierte Preisanderung hervorgegangen ist Dann erfullt die marshallsche Nachfragefunktion x p y displaystyle mathbf x mathbf p y nbsp das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann wenn gilt p 1 p 0 x 1 x 0 0 displaystyle left mathbf p 1 mathbf p 0 right cdot left mathbf x 1 mathbf x 0 right leq 0 nbsp Zusammenhang zur Theorie offenbarter Praferenzen Bearbeiten Voruberlegung Bearbeiten Man uberlege sich dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Guterpreise p 0 p 1 0 p n 0 displaystyle mathbf p 0 left p 1 0 ldots p n 0 right nbsp und das Haushaltseinkommen y 0 displaystyle y 0 nbsp ein optimales Guterbundel q 0 q 1 0 q n 0 displaystyle mathbf q 0 left q 1 0 ldots q n 0 right nbsp wahlt Nun falle der Preis von Gut i von p i 0 displaystyle p i 0 nbsp auf p i 1 displaystyle p i 1 nbsp woraus ein neues Preistupel p 1 displaystyle mathbf p 1 nbsp resultiert Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so dass fur den Haushalt das beste vor der Preisanderung erreichbare Guterbundel q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist Slutsky Kompensation Annahmegemass ist der Nutzen aus q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp also gleich dem aus q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp Da der Haushalt beim Preissystem p 0 displaystyle mathbf p 0 nbsp das Guterbundel q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp und nicht q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp gewahlt hat muss bei Gultigkeit des schwachen Axioms offenbarter Praferenzen weak axiom of revealed preferences WARP das Guterbundel q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp zu Preisen p 0 displaystyle mathbf p 0 nbsp mindestens so teuer gewesen sein als q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp da es fur den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen ware q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp zu wahlen 4 Formal 1 p 0 q 0 p 0 q 1 displaystyle mathbf p 0 cdot mathbf q 0 leq mathbf p 0 cdot mathbf q 1 nbsp Umgekehrt lasst sich mittels WARP auch analog einsehen dass beim Preissystem p 1 displaystyle mathbf p 1 nbsp der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss das Guterbundel q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp dem Bundel q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp vorzuziehen sonst hatte er nicht q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp gewahlt Das Guterbundel q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp kann also zu Preisen p 1 displaystyle mathbf p 1 nbsp nicht teurer sein als das Bundel q 0 displaystyle mathbf q 0 nbsp das heisst 2 p 1 q 1 p 1 q 0 displaystyle mathbf p 1 cdot mathbf q 1 leq mathbf p 1 cdot mathbf q 0 nbsp Addieren von 1 und 2 liefert nun sofort p 0 q 0 p 1 q 1 p 0 q 1 p 1 q 0 p 1 p 0 q 1 q 0 0 displaystyle mathbf p 0 cdot mathbf q 0 mathbf p 1 cdot mathbf q 1 leq mathbf p 0 cdot mathbf q 1 mathbf p 1 cdot mathbf q 0 quad Leftrightarrow quad left mathbf p 1 mathbf p 0 right cdot left mathbf q 1 mathbf q 0 right leq 0 nbsp was zu zeigen war Aquivalenz zu WARP Bearbeiten In der Voruberlegung wird gezeigt dass das schwache Axiom offenbarter Praferenzen die Gultigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert Es lasst sich zeigen dass hierzu auch die Ruckrichtung gilt Aquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage 5 Sei die Marshallsche Nachfragefunktion x p y displaystyle mathbf x mathbf p y nbsp homogen vom Grade null und genuge sie dem Walras Gesetz Dann genugt x p y displaystyle mathbf x mathbf p y nbsp dem schwachen Axiom offenbarter Praferenzen genau dann und nur dann wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfullt ist Literatur BearbeitenRichard Cornes Duality and modern economics Cambridge University Press Cambridge u a 1992 ISBN 0 521 33601 5 Geoffrey A Jehle und Philip J Reny Advanced Microeconomic Theory 3 Aufl Financial Times Prentice Hall Harlow 2011 ISBN 978 0 273 73191 7 Andreu Mas Colell Michael Whinston und Jerry Green Microeconomic Theory Oxford University Press Oxford 1995 ISBN 0 195 07340 1 Nolan H Miller Notes on Microeconomic Theory online Memento vom 15 Dezember 2011 im Internet Archive PDF 1 MB S 65 abgerufen am 2 Januar 2015 Hier S 23 ff Hal Varian Intermediate Microeconomics A Modern Approach 8 Aufl W W Norton New York und London 2010 ISBN 978 0 393 93424 3 Einzelnachweise Bearbeiten Hal Varian Intermediate Microeconomics A Modern Approach 8 Aufl 2010 S 147 Geoffrey A Jehle Philip J Reny Advanced Microeconomic Theory 3 Aufl 2011 S 56 Vgl nur Geoffrey A Jehle Philip J Reny Advanced Microeconomic Theory 3 Aufl 2011 S 53 56 Richard Cornes Duality and modern economics 1992 S 64 f Andreu Mas Colell Michael Whinston Jerry Green Microeconomic Theory 1995 S 28 30 Die nachfolgende Darstellung der Herleitung folgt Cornes 1992 S 64 Vgl auch zum Beweis Mas Colell Whinston Green 1995 S 30 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gesetz der Nachfrage amp oldid 222549034