Gerschgorin-Kreise dienen in der numerischen linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, zur Abschätzung von Eigenwerten. Mit ihrer Hilfe können einfach Gebiete angegeben werden, in welchen sich die Eigenwerte einer Matrix befinden und unter besonderen Bedingungen sogar wie viele Eigenwerte in diesen enthalten sind.
Sie sind benannt nach dem Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin.
Definition Bearbeiten
Sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus (also ), dann ist der zum -ten Diagonalelement gehörende Gerschgorin-Kreis folgendermaßen definiert:
wobei die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius um den Punkt bezeichnet.
Da die Menge der Eigenwerte (das Spektrum) von identisch mit der von ist, kann eine weitere Familie von Kreisen mit denselben Eigenschaften auch spaltenweise bestimmt werden:
Abschätzung von Eigenwerten Bearbeiten
Es gilt:
- Das Spektrum von ist eine Teilmenge von
- Falls es eine Teilmenge von gibt, sodass:
Oder einprägsamer: Jede Zusammenhangskomponente der Vereinigung aller Gerschgorin-Kreisscheiben enthält genauso viele Eigenwerte wie Diagonalelemente der Matrix .
Durch die Möglichkeit, die Kreise sowohl zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen (die Eigenwerte der transponierten Matrix sind dieselben), können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.
Beispiele Bearbeiten
Zu der Matrix
gibt es folgende Gerschgorin-Kreise (spalten- und zeilenweise):
- und zum Diagonalelement
- und zum Diagonalelement
- und zum Diagonalelement
Da der Mengendurchschnitt leer ist, befindet sich in genau ein Eigenwert und in befinden sich genau zwei.
Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix sind gerundet 1,8692, 4,8730 und 6,2578 und tatsächlich in den oben angegebenen Gebieten enthalten.
Die Matrix
ist symmetrisch und reell, somit sind alle Eigenwerte reell und es gibt folgende reelle Intervalle (Gerschgorin-Kreise):
- zum Diagonalelement
- zum Diagonalelement
- zum Diagonalelement
Da in der zweiten Spalte und Zeile dieser Matrix nur das Diagonalelement verschieden von Null ist, kann ein Eigenwert mit leicht bestimmt werden, die beiden anderen liegen in den Intervallen und , somit kann direkt als positiv definit identifiziert werden. Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix sind , also ungefähr 4,6972, 7 und 8,3028.
Verwendung Bearbeiten
Die Gerschgorin-Kreise bieten in der Numerik eine einfache Möglichkeit, Eigenschaften von Matrizen zu bestimmen. Enthält z. B. kein Gerschgorin-Kreis den Nullpunkt, so ist die Matrix invertierbar. Diese Eigenschaft wird im Begriff der strikt diagonaldominanten Matrix zusammengefasst. Genauso lässt sich bei symmetrischen bzw. hermiteschen Matrizen die Definitheit oftmals mithilfe der Gerschgorin-Kreise grob abschätzen.
Siehe auch Bearbeiten
- Satz von Gerschgorin: Anwendung auf Polynomnullstellen
- Satz von Courant-Fischer: alternative Charakterisierung der Eigenwerte symmetrischer oder hermitescher Matrizen