Das Goldston Pintz Yildirim Sieb auch GPY Sieb oder GPY Methode ist eine Sieb Methode und Variante des Selberg Siebs mit verallgemeinerten mehrdimensionalen Sieb Gewichten Das Sieb fuhrte zu einer Reihe von wichtigen Durchbruchen in der analytischen Zahlentheorie 2005 wurde das Sieb von Dan Goldston Janos Pintz und Cem Yildirim publiziert 1 Diese benutzten es um zu zeigen dass es unendlich viele Primzahltupel gibt deren Abstande die Primzahllucke beliebig kleiner sind als der Durchschnittsabstand der aus dem Primzahlsatz folgt Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Goldston Pintz Yildirim Sieb 2 1 Grundbegriffe und Notation 2 1 1 Zulassige Mengen 2 2 Konstruktion 2 2 1 Herleitung der Gewichte 2 2 2 Approximation der verallgemeinerten Mangoldt Funktion 2 3 Goldston Pintz Yildirim Sieb 2 3 1 Der Beweis der eigentlichen Aussage von GPY 3 Literatur 4 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenSeien p n p n 1 displaystyle p n p n 1 nbsp die Primzahlen an den Stellen n displaystyle n nbsp und n 1 displaystyle n 1 nbsp Goldston Pintz und Yildirim benutzten das Sieb um lim inf n p n 1 p n log p n 0 displaystyle liminf limits n to infty frac p n 1 p n log p n 0 nbsp zu beweisen 2013 benutzte Yitang Zhang eine modifizierte Variante des GPY Siebs und bewies damit 2 lim inf n p n 1 p n lt 70 000 000 displaystyle liminf limits n to infty p n 1 p n lt 70 000 000 nbsp Das GPY Sieb wurde danach von anderen Mathematikern weiter modifiziert darunter James Maynard 3 der die Grenze auf 600 displaystyle 600 nbsp druckte sowie von Terence Tao Goldston Pintz Yildirim Sieb BearbeitenWir fixieren ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp Grundbegriffe und Notation Bearbeiten Sei P displaystyle mathbb P nbsp die Menge der Primzahlen und 1 P n displaystyle 1 mathbb P n nbsp die charakteristische Funktion der Primzahlen L n displaystyle Lambda n nbsp die Mangoldt Funktion w n displaystyle omega n nbsp die prime Omega funktion welche die eindeutigen Primfaktoren zahlt d h falls n p 1 a 1 p k a k displaystyle n p 1 alpha 1 cdots p k alpha k nbsp dann ist w n k displaystyle omega n k nbsp H h 1 h k displaystyle mathcal H h 1 dots h k nbsp eine Menge von verschiedenen nichtnegativen ganzen Zahlen h i Z 0 displaystyle h i in mathbb Z cup 0 nbsp 8 n displaystyle theta n nbsp ist folgende charakteristische Funktionen der Primzahlen8 n log n falls n P 0 sonst displaystyle theta n begin cases log n amp text falls n in mathbb P 0 amp text sonst end cases nbsp dd Es gilt 8 n log n 1 1 P n 1 displaystyle theta n log n 1 1 mathbb P n 1 nbsp Fur ein H displaystyle mathcal H nbsp definieren wir noch H n n h 1 n h k displaystyle mathcal H n n h 1 dots n h k nbsp P H n n h 1 n h 2 n h k displaystyle P mathcal H n n h 1 n h 2 cdots n h k nbsp Falls alle n h i displaystyle n h i nbsp Primzahlen sind dann nennen wir H n displaystyle mathcal H n nbsp ein Primzahl k displaystyle k nbsp Tupel und es gilt w P H n k displaystyle omega P mathcal H n k nbsp Zulassige Mengen Bearbeiten Fur ein H h 1 h k displaystyle mathcal H h 1 dots h k nbsp ist n p H displaystyle nu p mathcal H nbsp die Anzahl eindeutiger Restklassen modulo p displaystyle p nbsp Beispiel H 0 2 5 p 3 H mod 3 0 1 1 n 3 H 2 displaystyle mathcal H 0 2 5 quad p 3 quad mathcal H stackrel pmod 3 0 1 1 quad nu 3 mathcal H 2 nbsp Wir nennen ein H displaystyle mathcal H nbsp zulassig englisch admissible falls H displaystyle mathcal H nbsp keine vollstandige Menge von Resten bezuglich aller Primzahlen p displaystyle p nbsp bildet das heisst n p H lt p p P displaystyle nu p mathcal H lt p quad forall p in mathbb P nbsp Um das zu uberprufen genugt es nur die Primzahlen bis k displaystyle k nbsp zu uberprufen Beispiele fur nicht zulassig 0 2 4 mod 3 0 1 2 displaystyle 0 2 4 stackrel pmod 3 0 1 2 nbsp ergibt 3 displaystyle 3 nbsp Restklassen und 0 2 6 8 12 14 mod 5 0 2 1 3 2 4 displaystyle 0 2 6 8 12 14 stackrel pmod 5 0 2 1 3 2 4 nbsp ergibt 5 displaystyle 5 nbsp Restklassen Beispiele fur zulassig 0 2 mod 3 0 2 displaystyle 0 2 stackrel pmod 3 0 2 nbsp ergibt 2 displaystyle 2 nbsp Restklassen 0 2 6 mod 3 0 2 0 displaystyle 0 2 6 stackrel pmod 3 0 2 0 nbsp ergibt 2 displaystyle 2 nbsp Restklassen und 0 2 6 mod 5 0 2 1 displaystyle 0 2 6 stackrel pmod 5 0 2 1 nbsp ergibt 3 displaystyle 3 nbsp Restklassen Konstruktion Bearbeiten Sei H h 1 h k displaystyle mathcal H h 1 dots h k nbsp zulassig und betrachte die Siebfunktion S N c H n N 1 2 N h i H 1 P n h i c w n 2 w n R c gt 0 displaystyle mathcal S N c mathcal H sum limits n N 1 2N left sum limits h i in mathcal H 1 mathbb P n h i c right w n 2 quad w n in mathbb R quad c gt 0 nbsp beachte dass die Gewichtsfunktion w n 2 displaystyle w n 2 nbsp immer positiv ist Die Siebfunktion zahlt fur jedes n N 1 2 N displaystyle n in N 1 2N nbsp alle Primzahlen der Form n h i displaystyle n h i nbsp in H n displaystyle mathcal H n nbsp abzuglich eines Schwellenwertes c displaystyle c nbsp Das heisst wenn S gt 0 displaystyle mathcal S gt 0 nbsp dann existieren manche n displaystyle n nbsp so dass mindestens c 1 displaystyle lfloor c rfloor 1 nbsp Primzahlen in H n displaystyle mathcal H n nbsp existieren Da 1 P n displaystyle 1 P n nbsp keine guten analytischen Eigenschaften hat verwenden wir stattdessen folgende Siebfunktion S N H n N 1 2 N h i H 8 n h i log 3 N w n 2 displaystyle mathcal S N mathcal H sum limits n N 1 2N left sum limits h i in mathcal H theta n h i log 3N right w n 2 nbsp Da log N lt 8 n h i lt log 2 N displaystyle log N lt theta n h i lt log 2N nbsp und c log 3 n displaystyle c log 3n nbsp ist ist S gt 0 displaystyle mathcal S gt 0 nbsp nur dann wenn wir mindestens fur ein n displaystyle n nbsp zwei Primzahlen n h i displaystyle n h i nbsp und n h j displaystyle n h j nbsp finden Das Ziel ist es nun dass wir Primzahl k displaystyle k nbsp Tupel H n n h 1 n h k displaystyle mathcal H n n h 1 dots n h k nbsp erkennen dies geschieht durch die Wahl einer passenden Gewichtsfunktion w n displaystyle w n nbsp Herleitung der Gewichte Bearbeiten Wenn H n displaystyle mathcal H n nbsp ein Primzahl k displaystyle k nbsp Tupel ist dann besteht P H n n h 1 n h 2 n h k displaystyle P mathcal H n n h 1 n h 2 cdots n h k nbsp aus exakt k displaystyle k nbsp Primfaktoren Wir wahlen nun die verallgemeinerte Mangoldt Funktion L k n d n m d log n d k displaystyle Lambda k n sum limits d mid n mu d left log left frac n d right right k nbsp denn diese hat die Eigenschaft dass wenn n displaystyle n nbsp aus mehr als k displaystyle k nbsp eindeutigen Primfaktoren besteht d h w n gt k displaystyle omega n gt k nbsp dann gilt L k n 0 displaystyle Lambda k n 0 nbsp Die Funktion erkennt zwar auch Primzahlpotenzen aber der Fehler ist gering und kann vernachlassigt werden 4 Wenn nun H n displaystyle mathcal H n nbsp ein Primzahl k displaystyle k nbsp Tupel ist dann wird die Funktion L k n H 1 k L k P H n displaystyle Lambda k n mathcal H frac 1 k Lambda k P mathcal H n nbsp nicht verschwinden Der Normalisierungsfaktor 1 k displaystyle 1 k nbsp ist nur aus rechnerischen Grunden dort Approximation der verallgemeinerten Mangoldt Funktion Bearbeiten Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp lasst sich die Mangoldt Funktion durch die abgeschnittene Mangoldt Funktion L R n displaystyle Lambda R n nbsp approximieren L n L R n d n d R m d log R d displaystyle Lambda n approx Lambda R n sum limits begin array c d mid n d leq R end array mu d log left frac R d right nbsp wobei das R displaystyle R nbsp hier nicht mehr fur die Tupellange steht welche immer noch k displaystyle k nbsp ist Dasselbe machen wir mit der verallgemeinerten Mangoldt Funktion resp L k n H displaystyle Lambda k n mathcal H nbsp Wir fuhren folgende Approximation ein L R n H 1 k d P H n d R m d log R d k displaystyle Lambda R n mathcal H frac 1 k sum limits begin array c d mid P mathcal H n d leq R end array mu d left log left frac R d right right k nbsp Die entscheidende Idee ist nun statt nur Primtupel lieber Tupel mit Primzahlen in mehreren Komponenten zu approximieren und einen zusatzlichen Parameter 0 ℓ k displaystyle 0 leq ell leq k nbsp einzufuhren L R n H ℓ 1 k ℓ d P H n d R m d log R d k ℓ displaystyle Lambda R n mathcal H ell frac 1 k ell sum limits begin array c d mid P mathcal H n d leq R end array mu d left log left frac R d right right k ell nbsp Die Gewichtsfunktion schaut somit ob k ℓ displaystyle k ell nbsp oder weniger eindeutige Primfaktoren in P H n n h 1 n h 2 n h k displaystyle P mathcal H n n h 1 n h 2 cdots n h k nbsp enthalten sind das bedeutet w P H n k ℓ displaystyle omega P mathcal H n leq k ell nbsp Der technische Grund hierfur ist dass wir mit dem ℓ displaystyle ell nbsp Parameter fur ein eindeutiges d d 1 d 2 d k displaystyle d d 1 d 2 cdots d k nbsp die Restriktion d d 1 d 2 d k R displaystyle d d 1 d 2 cdots d k leq R nbsp erhalten und ohne diesen Parameter die Restriktion d 1 R d 2 R d k R displaystyle d 1 leq R d 2 leq R dots d k leq R nbsp 5 Durch den k ℓ displaystyle k ell nbsp Exponent wird das Ganze zur Anwendung eines k ℓ displaystyle k ell nbsp dimensionalen Siebs auf ein k displaystyle k nbsp dimensionales Siebproblem 6 Goldston Pintz Yildirim Sieb Bearbeiten Das vollstandige GPY Sieb ist von folgender Form 7 S N H ℓ n N 1 2 N h i H 8 n h i log 3 N L R n H ℓ 2 H k displaystyle mathcal S N mathcal H ell sum limits n N 1 2N left sum limits h i in mathcal H theta n h i log 3N right Lambda R n mathcal H ell 2 quad mathcal H k nbsp mit L R n H ℓ 1 k ℓ d P H n d R m d log R d k ℓ 0 ℓ k displaystyle Lambda R n mathcal H ell frac 1 k ell sum limits begin array c d mid P mathcal H n d leq R end array mu d left log left frac R d right right k ell quad 0 leq ell leq k nbsp 8 Der Beweis der eigentlichen Aussage von GPY Bearbeiten Betrachte die zwei Tupel H 1 ℓ 1 k 1 displaystyle mathcal H 1 ell 1 k 1 nbsp und H 2 ℓ 2 k 2 displaystyle mathcal H 2 ell 2 k 2 nbsp und sei 1 h 0 R displaystyle 1 leq h 0 leq R nbsp und M k 1 k 2 ℓ 1 ℓ 2 displaystyle M k 1 k 2 ell 1 ell 2 nbsp Goldston Pintz und Yildirim bewiesen dann unter bestimmten Voraussetzungen zwei asymptotische Abschatzungen der Form n N L R n H 1 ℓ 1 L R n H 2 ℓ 2 C 1 N S H i o M 1 displaystyle sum limits n leq N Lambda R n mathcal H 1 ell 1 Lambda R n mathcal H 2 ell 2 C 1 N left mathcal S mathcal H i o M 1 right nbsp und n N L R n H 1 ℓ 1 L R n H 2 ℓ 2 8 n h 0 C 2 N S H j o M 1 displaystyle sum limits n leq N Lambda R n mathcal H 1 ell 1 Lambda R n mathcal H 2 ell 2 theta n h 0 C 2 N left mathcal S mathcal H j o M 1 right nbsp wobei C 1 C 2 displaystyle C 1 C 2 nbsp zwei Konstanten sind S H i displaystyle mathcal S mathcal H i nbsp und S H j displaystyle mathcal S mathcal H j nbsp sind zwei singulare Reihen auf deren Beschreibung wir hier verzichten Wahlt man H 1 ℓ 1 H 2 ℓ 2 displaystyle mathcal H 1 ell 1 mathcal H 2 ell 2 nbsp dann erhalt man den gewunschten Faktor L R n H 1 ℓ 1 2 displaystyle Lambda R n mathcal H 1 ell 1 2 nbsp in den Abschatzungen Beide Abschatzungen werden dann auf S displaystyle mathcal S nbsp angewendet um das eigentliche Theorem von Goldston Pintz und Yildirim herzuleiten 8 Literatur BearbeitenDaniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 819 862 doi 10 4007 annals 2009 170 819 James Maynard Small gaps between primes In Annals of Mathematics Band 181 Nr 1 2015 S 383 413 doi 10 4007 annals 2015 181 1 7 arxiv 1311 4600 abs Einzelnachweise Bearbeiten Daniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 819 862 doi 10 4007 annals 2009 170 819 Yitang Zhang Bounded gaps between primes In Annals of Mathematics Band 179 2014 S 1121 1174 doi 10 4007 annals 2014 179 3 7 James Maynard Small gaps between primes Band 181 Nr 1 2015 S 383 413 doi 10 4007 annals 2015 181 1 7 Daniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 826 doi 10 4007 annals 2009 170 819 Siehe Fusszeile Daniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 827 doi 10 4007 annals 2009 170 819 D A Goldston S W Graham J Pintz und C Y Yildirim Small gaps between primes or almost primes 2005 S 7 arxiv math 0506067 Daniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 828 doi 10 4007 annals 2009 170 819 a b Daniel A Goldston Janos Pintz und Cem Y Yildirim Primes in Tuples I In Annals of Mathematics Band 170 Nr 2 2009 S 827 829 doi 10 4007 annals 2009 170 819 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Goldston Pintz Yildirim Sieb amp oldid 237476270
