Fuzzy-Regler

Ein Fuzzy-Regler ist ein Regler, der auf der Fuzzylogik basiert. Die Fuzzylogik kommt vorzugsweise dann zur Anwendung, wenn ein technischer Prozess mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen bei stark wechselnden Parametern und nichtlinearen Teilsystemen möglichst ohne menschlichen Eingriff (Anlagenfahrer) gesteuert werden soll.

Übersichtsdarstellung der fuzzifizierten Eingangsgrößen und der Ausgangsgrößen des Fuzzy-Controllers.

Im systemanalytischen Sinne ist ein Fuzzy Control System ein statisches nichtlineares Steuersystem, welches aus scharfen Eingangsgrößen eines komplexen Prozesses nach den Regeln einer Regelbasis unscharf definierte fuzzifizierte Steuergrößen und scharfe defuzzifizierte Wertesignale bildet, mit denen ein zufriedenstellendes Prozessergebnis erreicht wird.

Unter der Fuzzifizierung einer scharfen physikalischen Eingangsgröße (Messwert) eines technischen Prozesses versteht man die Quantifizierung durch unscharfe Definitionen mit linguistischen Begriffen wie warm, kalt, viel, wenig, mehr, groß, klein. Über die sogenannten graphischen trapez- oder dreieckförmige Fuzzy-Sets werden die Zugehörigkeitsgrade aus den scharfen Eingangssignalen innerhalb der Grundmengen (Variablen) ermittelt. Die den Variablen der Grundmengen zugehörigen Terme entsprechen vereinfacht den linguistischen Begriffen der Fuzzy-Sets.

Die Zugehörigkeitsgrade wirken auf die mit Expertenwissen erstellten Regeln der Regelbasis und daraus werden unscharfe Stellgrößen und analoge defuzzifizierte scharfe Ausgangssignale gebildet, die statisch auf die Stellorgane eines Prozesses einwirken.

Die Anpassung eines Fuzzy Controllers ohne mathematisches Modell des Prozesses ist mit dem Expertenwissen von einem bekannten Prozess relativ unproblematisch.

Fuzzy-Regler beziehen sich auf die Verfahren der Fuzzy Controller, sind aber meist funktionelle Abwandlungen, Vereinfachungen oder Ergänzungen mit der Fuzzy-Logik.

Der prinzipielle Funktionsmechanismus einer Regelung beruht auf Rückführung der Regelgröße und Eingabe des invertierten Soll-Ist-Wert-Vergleichs in den Regler. Genaue Regelungen mit dem statischen Fuzzy-Controller sind nur in begrenzten Einsatzfällen von nichtlinearen Regelstrecken-Arten möglich.

Optimale Regelungen können durch Erweiterungen des Fuzzy Controllers mit integralen und differenziellen Anteilen der Regelabweichung mit Hilfe empirischer Einstellungen erreicht werden. Sie haben zum Vergleich im Einsatz als Regler an linearen Eingrößen-Regelstrecken keine funktionellen Vorteile gegenüber den klassischen PID-Reglern.

Anwendung der Fuzzy-Controller

Ein Mensch ist in der Lage, mit Hilfe unscharfer Prozess-Informationen über gezielte Eingriffe (Stellgrößen) in den Prozessablauf eine optimale Prozessführung zu gewährleisten. Er kann beispielsweise nach einer Lernprozedur für das Gleichgewicht auf dem Fahrrad durch gezielte Lenkbewegungen geschwindigkeitsabhängige Stell-Fliehkräfte erzeugen, die dank des menschlichen Gleichgewichtssinns das rollende Fahrrad aufrecht halten.

Die auf die Fuzzy-Logik (fuzzy: unscharf, verwischt) basierenden Fuzzy-Controller arbeiten mit Hilfe des Expertenwissens in vergleichbarer Weise. Auch hier werden unscharfe Eingangsgrößen über einen wissensbasierten Regelalgorithmus zu einer definierten Stellgröße verarbeitet.

Fuzzy-Systeme beziehen sich auf sehr spezielle grafische Verfahren mit unscharfen linguistischen Begriffen menschlicher Denkweisen in Verbindung mit einfachen logischen Gleichungen (WENN-DANN-Regelbasis), um aus mehreren Fuzzy-Variablen eine oder mehrere Stellgrößen zu bilden. Zum Verständnis der Wirkungsweise sind Signalflusspläne in Blockschaltbildern erforderlich.

Ein Fuzzy-System kann als ein statisches nichtlineares Übertragungssystem aufgefasst werden. Scharfe Eingangsgrößen führen auch zu scharfen Ausgangsgrößen.

Wesentliche Verfahrensschritte der Konzeption eines Fuzzy-Controllers beziehen sich auf die Fuzzifizierung der linguistischen Variablen zu Zugehörigkeitsgraden, die Zusammenführung der Zugehörigkeiten der linguistischen Terme über die Prämissenauswertung (Min-Max-Operatoren) mit Hilfe der Regelbasis (WENN-DANN-Regeln), der Akkumulation der Stellgrößen und der Defuzzifizierung der Stellgrößen zu einem scharfen analogen Signal (z. B. Flächenschwerpunktmethode). Die Stellgrößen des Fuzzy-Controllers können auf die Stelleinrichtungen einer technischen Anlage wirken, um damit ein gewünschtes technisches Verhalten der Anlage zu erreichen. Ein analoges defuzzifiziertes Stellgrößensignal kann in Verbindung mit einer gegebenen technischen Anlage als Regelstrecke zu einem Regelkreis gestaltet werden.

Für die Anwendung des Fuzzy-Controllers ist das Verständnis der sehr speziellen Fachbegriffe erforderlich.

• Bei Fuzzy-Systemen erfolgt die Quantifizierung von scharfen physikalischen Eingangsgrößen eines Prozesses durch unscharfe Definitionen mit linguistischen Begriffen wie warm, kalt, viel, wenig, mehr, groß, klein.
• Die Fuzzifizierung der scharfen Eingangsgrößen geschieht durch der Gauß’schen Normalverteilung nachempfundene, dreieck- oder trapezförmige sogenannte Fuzzy-Sets in Zugehörigkeiten der entsprechenden Grundmenge, z. B. ein Temperaturbereich .
• Die verschiedenen Zugehörigkeiten wirken in der Inferenz auf die WENN-DANN-Regeln der Regelbasis. (WENN <Bedingung> DANN <Folgerung>)
• Zur Inferenz (Bedeutung: aufbereitetes Wissen) gehören die Regelbasis, die Implikation und die Akkumulation.
• Die Implikation definiert den Zugriff der Regelbasis auf die Stellaggregate des Prozesses.
• In der nachfolgenden Akkumulation (Anhäufung) wird graphisch die unscharfe Stellgröße (oder mehrere Stellgrößen) abgebildet.
• Die Defuzzifizierung bildet aus der Akkumulation einen scharfen Wert z. B. nach der Flächen-Schwerpunkt-Methode ab, sofern benötigt.

Für das Verhalten einer technischen Anlage z. B. ein lineares oder nichtlineares dynamisches System mit mehreren Ein- und Ausgängen wird kein mathematisch exaktes Modell des Übertragungsverhalten benötigt, sondern ein Expertenwissen zur Abschätzung der linguistischen Variablen. Mit dem Fuzzy-Control-System können sowohl sehr einfache Steuerungen, z. B. Steuerung von Haushaltswaschmaschinen, als auch Regelkreise mit komplexen Industrie-Anlagen gebildet werden.

Fuzzy-Controller werden meist in nichtlinearen Mehrgrößensystemen eingesetzt, die folgende Eigenschaften aufweisen wie:

• Prozesse, deren mathematische Modelle aufwendig oder schwierig zu beschreiben sind.
• Prozesse mit konventionellen Verfahren, die korrigierende Eingriffe von Menschenhand (Anlagenfahrer) erfordern.
• Wenn ein Prozess nur manuell gefahren werden kann.

Das Ziel des Einsatzes der Fuzzy-Controller ist, solche Prozesse zu automatisieren. Anwendungen der Fuzzy-Controller finden sich in allen Bereichen der Industrie bis zu Verbraucherartikeln wie:

• Steuerung von Schienenfahrzeugen oder Regalförderanlagen, bei denen Fahrzeiten, Bremswege und Positionsgenauigkeiten von den Massen, Förderwegen, Schienenhaftwerten und Zeitplänen abhängig sind. Im Allgemeinen handelt es sich bei diesen Prozessen um Mehrgrößensysteme, deren Führungsgrößen Programm-gesteuert und -geregelt werden.

Schema eines inversen Pendels auf einem Wagen

• In der Automobilindustrie wird erfolgreich die Steuerung des Automatik-Getriebes mit der Fuzzy-Logik betrieben.
• Einfachere Anwendungen im privaten Haushalt finden sich in Wasch- und Geschirrspülmaschinen.
• Steuerungen in Fotoapparaten,
• In Hochschulen typisches mechanisches Fuzzy-Demonstrations-Modell einer Regelung eines inversen Pendels mit einem Freiheitsgrad:

Linguistische Variable und Fuzzy-Mengen

Fuzzy-Mengen

→ Hauptartikel: Fuzzy-Menge

Klassische Definition der Menge

Die Funktion legt die Zugehörigkeit zur Menge fest, ob Element in der Menge enthalten ist.

Man unterscheidet:

Aufzählende Schreibweise: M = {Element 1, Element 2, …}

Beschreibende Mengenschreibweise: M = {x | x besitzt die Eigenschaften E 1 , E 2 , …, E n}

Definition der Fuzzy-Menge

Begriff-Definitionen:

• Unter Fuzzifizierung versteht man die Umwandlung einer scharf definierten Eingangsgröße innerhalb der Dimension einer Grundmenge in einen oder mehrere Zugehörigkeitswerte.
• Eine linguistische Variable repräsentiert meist eine physikalische Größe in einem beliebigen System als Grundmenge. Diese Variable ist durch linguistische Terme (Fuzzy-Sets) definiert.
• Umgangssprachlich sind zu Ereignissen oder Vorgängen Begriffe der linguistischen Variablen üblich, welche keine eindeutigen Zugehörigkeiten zu einer Menge erlauben, wie warm, groß, dick, nah, kurz, alt usw. Diese Begriffe von Teilmengen können durch die Fuzzy-Sets z. B. in einem technischen Prozess definiert werden, wenn Expertenwissen vorliegt.
• Linguistische Terme (Fuzzy-Sets) sind unscharfe Teilmengen der Grundmenge . Bezieht sich die Grundmenge z. B. auf die Wärme in der Dimension der Temperatur, dann sind die linguistischen Begriffe der Teilmengen (Fuzzy-Sets): [kalt, warm, heiß, sehr heiß] oder symbolisch , die mittels Expertenwissen als Fuzzy-Sets in ein Koordinatensystem übertragen werden.
• Die Fuzzy-Sets sind als linguistische Terme in Form von grafischen Symbolen meist als Dreiecke und Trapeze auf der Abszisse eingezeichnet. Siehe Diagramm im nächsten Abschnitt.
• Die linguistische Variable ist auf der Abszisse eines Koordinatensystems eingetragen und enthält die Dimension einer meist physikalischen Größe. Ein skalierter Wert aus der linguistische Variablen (Grundmenge) entspricht einer Eingangsgröße zur Fuzzifizierung der Teilmenge (Fuzzy-Set) in einen Zugehörigkeitsgrad .
• Die Zugehörigkeitsfunktion (= Membership = Mitgliedschaft) definiert für ein scharfes Ausgangssignal für die Zugehörigkeit der Variablen (Grundmenge) auf einen der Terme (Teilmengen) den entsprechenden Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 (= 0 und 100 %) z. B. .
• Der Zugehörigkeitsgrad ist die fuzzifizierte scharfe Ausgangsgröße, wenn die scharfe Eingangsgröße einem Wert der Grundmenge (der Abszisse) entspricht. Bei überlappenden Fuzzy-Sets können durch ein Signal der Eingangsgröße auch mehrere Fuzzy-Sets getroffen werden. Z. B. . Verschiedene Werte des Eingangssignals können auch gleiche Werte des Zugehörigkeitsgrades hervorrufen.
• Expertenwissen beruht auf Erfahrungen eines Experten, der das Verhalten eines linearen oder nichtlinearen beliebigen technischen Systems beurteilen kann und linguistische Variablen als Grundmengen festlegen kann.
• Linguistische Variablen werden üblich mit großen Anfangsbuchstaben A, B, C, … bezeichnet. Die Ausgangsgrößen eines Fuzzy-Controllers bezeichnet man mit den Endbuchstaben des Alphabetes X, Y, Z.

Die scharfe Trennung der klassischen Mengen mit der Beurteilung (wahr oder nicht wahr) wird in der Theorie der Fuzzy-Mengen aufgehoben und durch sogenannte Fuzzy-Sets als unscharfe Teilmengen ersetzt. Fuzzifizierte Mengen stellen zwischen einem Wert der Grundmenge und den Elementen (Teilmengen mit den Symbolen der Fuzzy-Sets) einer Grundmenge eine meist lineare Beziehung zu einer Ausgangsgröße – dem Zugehörigkeitsgrad – her.

Eine Fuzzy-Menge wird also durch eine graphische Methode über ein Koordinatensystem bestimmt, in dem sogenannte Fuzzy-Sets als grafische Elemente wie Dreiecke, Trapeze eingezeichnet sind. Fuzzy-Sets erlauben auch die Beschreibung nichtlinearer Zusammenhänge zwischen Ein- und Ausgangsgrößen eines Systems (z. B. technische Anlage) mit Hilfe von linguistischen unscharfen Begriffen wie [sehr wenig, wenig, mehr, viel, …], die durch Expertenwissen festgelegt werden.

Fuzzy-Teilmengen (linguistische Terme) sind – der grafischen Darstellung der Gaußschen Glockenkurve zur einfacheren Berechenbarkeit nachempfundene – meist dreieckförmige oder trapezförmige Funktionen. Sie sind Bestandteil einer Grundmenge (Linguistische Variable) und werden als grafische Modelle je nach Anzahl der linguistischen Terme in einem Koordinatensystem dargestellt. Die Abszisse enthält die skalierte physikalische Dimension der Grundmenge (linguistische Variable), innerhalb der die Terme als Fuzzy-Sets mit ihren Stützpunkten meist überlappend aufgeteilt sind. Die Ordinate kennzeichnet sämtliche Teilmengen (Fuzzy-Sets) durch den Zugehörigkeitsgrad .

Je nachdem wie viele Fuzzy-Sets eine Grundmenge enthält, so oft kann abhängig von einem Eingangswert der Grundmenge der Zugehörigkeitsgrad = 0 bis 1 erreicht werden. Es hängt also von dem Wert innerhalb der Grundmenge ab, welcher Fuzzy-Set und wie viele Fuzzy-Sets aktiviert („feuern“) werden und welche Zugehörigkeitsgrade sich daraus ergeben.

Trifft eine Eingangsgröße mit einem Wert der Grundmenge auf ein überlappendes Fuzzy-Set, können sich mehrere Werte des Zugehörigkeitgrades auf der Ordinate ergeben. Verschiedene Werte des Eingangssignals können gleiche Werte des Zugehörigkeitsgrades hervorrufen.

Es existieren verschiedene Begriffe der Funktionen der unscharfen Teilmengen, die alle das Gleiche bedeuten: Fuzzy-Set, Fuzzy-Element, Term einer Fuzzy-Variablen, linguistischer Term.

Linguistische Variablen des Fuzzy-Controllers

Eine Fuzzy-Variable bezieht sich auf die Grundmenge einer skalierten physikalischen Größe, deren Terme Fuzzy-Sets darstellen und grafisch in einem Koordinatensystem – wie bereits erläutert – abgebildet ist.

Ein grafisches Modell der Signalflüsse des Fuzzy-Controllers besteht aus mehreren Eingangs- und Ausgangsvariablen, die durch mehrere Arbeitsregeln der Regelbasis miteinander verknüpft sind. Die scharfen Eingangssignale dieses Modells werden fuzzifiziert und die verarbeiteten unscharfen Ausgangssignale werden zu Stellgrößen defuzzifiziert.

Fuzzy-Variablen sind meist physikalische Größen, wie z. B. die „Temperatur“, deren linguistische Terme als Fuzzy-Sets wie „sehr kalt“, „kalt“, „warm“, „sehr warm“ definiert werden können. Andere Fuzzy-Variablen wie z. B. die „Entfernung“ können durch die linguistischen Terme wie „sehr nah“, „nah“, „weit“, „sehr weit“ beschrieben werden. Ein linguistischer Term wird als eine Fuzzy-Teilmenge über eine Grundmenge definiert.

Häufig werden auch Abkürzungen von Standardbegriffen für beliebige physikalische Größen verwendet wie „positiv groß“, „positiv mittel“, „positiv klein“, „nahe null“, „negativ groß“, „negativ mittel“, negativ klein. Dies sind bereits 7 Terme, die sich bei einem Eingrößensystem auf eine Eingangs-Ausgangs-Kennlinie beziehen, die durch den Ursprung des Koordinatensystems vom positiven bis in den negativen Bereich geht. Handelt es sich bei dem Prozess um Mehrgrößensysteme, ist die Eingangs-Ausgangs-Beziehung des Fuzzy-Controllers durch Kennfelder bestimmt.

Zwischen den zwei linguistischen Begriffen einer Grundmenge der Temperatur wie „warm“ und „sehr warm“ hat diese Eigenschaft je einen Wahrheitsgrad der Zugehörigkeit zwischen 0 und 1. Diese Terme der variablen Temperatur entsprechen den menschlichen Empfindungen. Dennoch besteht eine gewisse Willkür in der Festlegung und Zuordnung der Fuzzy-Sets mit ihren Stützpunkten über der Grundmenge der Variable „Temperatur“. Hier spielt bereits das Expertenwissen eine Rolle, denn es besteht in dem linguistischen Begriff Wärme bekanntermaßen ein Unterschied, ob es sich bei dem Term „sehr warm“ um die Badewasser-Temperatur oder die Tee-Wasser-Temperatur handelt.

Darstellung einer Fuzzy-Grundmenge A mit 6 Teilmengen a1 … a6

Dreieckige und trapezförmige Fuzzy-Sets sind wegen der einfachen Berechenbarkeit die am häufigsten verwendeten Formen einer unscharfen Teilmenge von Fuzzy-Variablen.

Singletons (Strichfunktionen) entsprechen scharfen linguistischen Elementen (Termen), die nur je einen physikalischen Wert repräsentieren und werden meist zur Vereinfachung bei der Defuzzifizierung eingesetzt. Ist x₀ ein bestimmter Wert der Grundmenge X, dann ist nur an der Stelle x = x₀ für den Zugehörigkeitsgrad ein von null verschiedener Wert gegeben. Für die Schlussfolgerung des DANN-Teils einer WENN-DANN-Regel können zur Vereinfachung der rechnerischen Auswertung Singletons anstelle dreieckförmiger oder trapezförmiger Fuzzy-Sets eingesetzt werden. Details folgen im Kapitel Inferenz.

Für die Beschreibung eines technischen Vorgangs einer physikalischen Signalgröße sind häufig eine Anzahl von 2 bis 7 Fuzzy-Sets einer Grundmenge ausreichend.

Fuzzy-Sets werden zum besseren Verständnis grafisch in einem Koordinatensystem auf einer Abszisse mit scharfen Werten der physikalischen Größe eingeordnet und für beliebige Grundmengen in der Ordinate dem Zugehörigkeitsgrad μ = 1 ≡ 100 % zugeordnet. Die Trapez- oder Dreiecksformen der Fuzzy-Sets sind häufig – aber nicht immer – symmetrisch gestaltet und überschneiden sich innerhalb eines bestimmten Bereiches in den Fußpunkten meist zwischen 20 und 50 % auf der Abszisse. Falls keine Überschneidung vorliegt, hat in Eingrößensystemen die Ausgangsgröße in diesem bestimmten Bereich den Zugehörigkeitsgrad null und ebenso die Eingangs-Ausgangs-Kennlinie.

Durch die Wahl der Lage der Fuzzy-Sets – die Größe der Überschneidung (Überlappung), der Symmetrie der Sets, der Art der Regelbasis – kann bei Eingrößensystemen die Eingangs-Ausgangskennlinie des Fuzzy-Reglers in weiten Grenzen von linear bis kontinuierlich nichtlinear und gebrochen nichtlinear gestaltet werden.

Die Anzahl der Variablen und der zugehörigen Terme soll so gering wie möglich sein, weil sie insbesondere bei der Berechnung der Erfüllungsgrade und Verknüpfungen von Variablen mit den Fuzzy-Regeln viel Rechenarbeit an einem Microrechner bedeuten.

Definition indizierter Fuzzy-Variablen und deren Symbole

Beschränkt man sich auf die Darstellungen der Fuzzy-Variablen und gängigsten Fuzzy-Operatoren, handelt es sich bei der Fuzzy-Logik um ein recht einfaches Verfahren, Steuerungstechnik und mit Einschränkungen Regelungstechnik ohne genaue Kenntnisse eines dynamischen Mehrgrößen-Prozesses als Regelstrecke mit Erfolg anzuwenden. Dies ist größtenteils in den dargestellten grafischen Funktionsdiagrammen erkennbar. Dagegen ist die mathematische Beschreibung der signaltechnischen Funktionen der scharfen Eingangssignale bis zu den scharfen Signal-Ausgangsgrößen (Stellgrößen) des Fuzzy-Controllers schwierig.

Die Fachliteratur zeigt keine einheitliche Benennung von Fuzzy-Variablen, Teilmengen, Grundmengen, sowie Variablen-Symbolen und deren Indizierungen. Insbesondere Veröffentlichungen aus dem universitären Bereich können wenig geübten Interessenten bei mehrfachen Indizierungen von Erfüllungsgraden, unscharfer Mengen und Regeln Verständnis-Schwierigkeiten der Fuzzy-Theorie bereiten.

Zum leichteren Verständnis wird folgende Vereinfachung der Benennung von Variablen und deren Indizierungen definiert:

• Scharfe regelungstechnische Ein- und Ausgangssignale

• Unscharfe Signale

• Fuzzy-Variablen

• Fuzzy-Terme (Fuzzy-Sets) als Teilmengen der Fuzzy-Variablen

• Zugehörigkeit μ der Fuzzy-Eingangsgrößen

• Zugehörigkeit μ als Ausgangsgröße (Verfahren Mamdani)

• Erfüllungsgrad und Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzy-Teilmenge

Berechnung der Fuzzy-Sets mit Geradengleichungen

Gebräuchliche Fuzzy-Sets als Fuzzy-Teilmengen einer Fuzzy-Variablen

Das grafische Modell einer Fuzzy-Variablen entspricht mittels Expertenwissen einer Aufteilung von normalerweise überlappenden Fuzzy-Sets auf die Grundmenge X auf der Abszisse im Koordinatensystem. Die maximale Höhe aller Fuzzy-Sets der Variable X entspricht dem Erfüllungsgrad μ(X) = 1 der Ordinate. Für die Fuzzifizierung einer scharfen Eingangsgröße e im Bereich der Grundmenge der Variablen X lässt sich grafisch leicht der Zugehörigkeitsgrad oder die Zugehörigkeitsgrade der Fuzzy-Sets mit einer bestimmten Genauigkeit darstellen. Da es sich bei dem Fuzzy-Controller um einen Mikrocomputer handelt, der mathematische und logische Operationen durchführen kann, müssen für die Berechnungen der Erfüllungsgrade an dreieckförmigen oder trapezförmigen Fuzzy-Sets Geradengleichungen verwendet werden.

Es hängt also von der Größe des scharfen Eingangssignals innerhalb der Grundmenge ab, welches Fuzzy-Set und ob es die ansteigende Rampe oder abfallende Rampe trifft und ob bei überlappenden Fuzzy-Sets zwei Fuzzy-Sets getroffen werden.

Bei den in der Grafik dargestellten Fuzzy-Set-Modellen mit den Bezeichnungen der Eckwerte a, b, c, d und dem Erfüllungsgrad μ(X)= 1 entspricht die Größe x der Eingangsgröße e. Der Erfüllungsgrad μ(X)= 1 wird abhängig von der Größe des Eingangssignals im Bereich der Grundmenge sooft getroffen, soviel Terme einer Variable zugeordnet wurden.

Für eine Fuzzy-Variable mit mehreren Fuzzy-Sets muss für die Bestimmung des Erfüllungsgrades abhängig von der scharfen Eingangsgröße und der Lage der Rampe die Geradengleichungen des Anstiegs und des Abfalls berechnet werden. Daraus erfolgt bei der Verknüpfung der Erfüllungsgrade mit weiteren Variablen die Ermittlung der unscharfen Ausgangsvariablen (Fuzzy-Teilstellgrößen).

Für die Berechnung der Zugehörigkeitsfunktion μ(X) für einen gegebenen scharfen Wert der der Eingangsgröße e auf der skalierten Abszisse einer Grundmenge sind folgende Geradengleichungen der Rampen gegeben:

Geradengleichung für den Anstieg der Rampe:

Geradengleichung für den Abfall der Rampe:

Fuzzy-Operatoren

Operationen mit unscharfen Mengen sind notwendig, wenn mehrere linguistische Aussagen der WENN-DANN-Regeln verknüpft werden müssen. Neben unscharfen Mengen sind unscharfe Relationen ein wichtiges Teilgebiet der Fuzzy-Set-Theorie. Die Beziehungen gleicher Grundmengen benachbarter Fuzzy-Sets werden durch Fuzzy-Relationen über die gängigsten Operatoren wie Fuzzy-ODER, Fuzzy-UND und Fuzzy-NICHT-Funktionen beschrieben. Diese Beziehungen haben eine andere Bedeutung, als die der Bool´schen Algebra, denn sie müssen auch einen Bezug zu den unscharfen Mengen besitzen. Die Unterteilung des Wahrheitsgehaltes in beliebig viele Zwischenschritte zwischen wahr und falsch kommt der menschlichen Denkweise näher, als die zweiwertige Logik.

UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen)

Das Verhalten eines Fuzzy-Controllers ist durch sogenannte Arbeitsregeln der Regelbasis bestimmt, die aus einem WENN-Teil und einem DANN-Teil bestehen. Die Verknüpfung der Fuzzy-Teilmengen gleicher oder ungleicher Grundmengen erfolgt mittels der Fuzzy-Operatoren. Die 3 am häufigsten genutzten Operatoren zur Verknüpfung von fuzzifizierten Teilmengen lauten wie folgt:

• UND-Operator

• Der ODER-Operator

• NICHT-Funktion

Fuzzy-Relationen

Relationen eignen sich zur Beschreibung von Zusammenhängen zwischen verschiedenen Variablen und Attributen. Eine Fuzzy-Relation entspricht einer Fuzzy-Menge, deren Grundmenge ein kartesisches Produkt aus mehreren Grundmengen darstellt. Mehrstellige Relationen sind Beziehungen zwischen scharfen oder unscharfen Mengen auf unterschiedlichen Grundmengen. Eine mehrstellige Relation ist eine Teilmenge der kartesischen Produktmenge der Grundmengen, eine unscharfe Relation ist immer eine unscharfe Menge.

Eine zweistellige Fuzzy-Relation ist eine Abbildung zweier Grundmengen z. B. von zwei Variablen:

Die nebenstehende Grafik „Regelaktivierung mit ungleichen Grundmengen“ zeigt als Relationsvorschrift R die Relation der Zugehörigkeitsgrade nach der Regel 1:

Regelaktivierung mit zwei Fuzzy-Teilmengen (Fuzzy-Sets) als Folge von 2 scharfen Eingangsgrößen e1 und e2

Die Terme a_n und b_n dieser Variablen A und B geben an, wie stark sie zueinander in Relation stehen. In einer Relations-Matrix z. B. mit den Variablen A, die einer Grundmenge der Temperatur entspricht und der Variablen B, die einer Grundmenge des Drucks entspricht, lässt sich folgende Relation der Terme a2 = „warm“ und b2 = „Druck mittel“ bilden, deren Zuordnung für eine bestimmte Arbeitsregel der Regelbasis gültig ist.

Die Teilmengen der Terme „warm“ und „mittel“ werden als Relation der Grundmengen Temperatur und Druck dargestellt. Zur Bestimmung der Zugehörigkeiten μ_R der UND-Verknüpfung der Prämissen des WENN-Teils kommt der min-Operator zur Anwendung.

Zahlenbeispiel der Fuzzy-Relation (Prämissenrelation von 2 Fuzzy-Sets ungleicher Grundmengen):

Für einige wenige in gleichen Abständen (Äquidistanz: = „gleiche Abstände auf einer Skala“) mit 5 aktiven Messpunkten gewählte scharfen Eingangssignale e1 und e2 für die Zugehörigkeitsgrade μ = {0; 0,5; 1,0; 0,5; 0} werden die Teilmengen (Fuzzy-Sets) a2(A) und b2(B) aktiviert. Für die angegebenen Zugehörigkeitsgrade lassen sich laut der nebenstehenden Grafik mit der einfachen Skalierung die zugehörigen scharfen Werte der Eingangssignale für die Temperatur und den Druck ermitteln. Laut der nachstehenden Tabelle ist jeder Wert des Terms a2 mit jedem Wert des Terms b2 für eine bestimmte Zugehörigkeit zugeordnet. Es handelt sich hierbei um die Prämissenauswertung des WENN-Teils der zugehörigen Arbeitsregel.

Die skalierten Daten der Grundmenge der Temperatur von Variable A lauten: {20; 40; 60; 80; 100}(ϑ)

Die skalierten Daten der Grundmenge des Druckes von Variable B lauten: {4; 8; 12; 16; 20}(P)

Die UND-Verknüpfung der Terme erfolgt über den Min-Operator nach Regel 1 laut dargestellter Grafik der Fuzzy-Variablen.

Das Ergebnis der Tabelle sind die regelaktivierten Zugehörigkeitswerte μ_R von zwei unscharfen Teilmengen a2 und b2, die über einige Werte der beiden skalierten Grundmengen gefunden wurden.

Tabellarische Darstellung der Zugehörigkeitsgrade (Erfüllungsgrade) als Fuzzy-Relationen der Grundmengen Temperatur und Druck mit den Teilmengen „Temperatur warm“ und „Druck mittel“ laut obengenannter Arbeitsregel:

Variable Druck, Term „mittel“
Variable Temp. Term „warm“	4 bar	8 bar	12 bar	16 bar	20 bar
20 °C	0	0	0	0	0
40 °C	0	0,5	0,5	0,5	0
60 °C	0	0,5	1,0	0,5	0
80 °C	0	0,5	0,5	0,5	0
100 °C	0	0	0	0	0

Die praktische Bedeutung dieser Tabelle bezieht sich auf die Bestimmung der Zugehörigkeitsgrade der Schlussfolgerung der Arbeitsregel. Zur Realisierung eines Rechenprogrammes für einen Fuzzy-Controller müssen die Zugehörigkeitsgrade eines jeden Fuzzy-Set mit den diskreten Werten der Grundmengen über Geradengleichungen bestimmt werden. Für die logischen Verknüpfungen der Teilmengen eignen sich die Min-max-Operatoren. Aus der Zusammenfassung der Schlussfolgerung des DANN-Teils einer jeden Regel wird die Funktion der Fuzzy-Teil-Stellgröße und mit der Akkumulation die Fuzzy-Stellgröße ermittelt.

Übersichtsdarstellung des Fuzzy-Controllers

Prinzip des Fuzzy-Controllers

Das Konzept des Fuzzy-Controllers nach Mamdani bezieht sich auf folgende Teilfunktionen:

Die Wissensbasis enthält das gesamte Expertenwissen, das sich anhand von Erfahrungen mit linguistischen Begriffen und Handlungen auf die Steuerung eines nichtlinearen Prozesses bezieht. Mit ihrem Wissen wird die Voraussetzung geschaffen, die scharfen System-Eingangssignale in Fuzzy-Sets umzusetzen und die Fuzzy-Regeln der Regelbasis zu formulieren.

Elemente (Terme, Fuzzy-Sets) von unscharfen Mengen werden durch ein Wertepaar beschrieben, welches aus dem scharfen Wert der Grundmenge z. B. der Variable A und dem Zugehörigkeitsgrad μa(A) besteht. Der scharfe Wert der Grundmenge der Variable A kann ein Wert eines Eingangssignals e sein.

Die Regelbasis enthält die fuzzy-logischen Steuerregeln zur Bestimmung der unscharfen Ausgangsvariablen (unscharfen Stellgrößen) aus den unscharfen Eingangsvariablen.

Datenherkunft für den Entwurf des Fuzzy-Controllers:

• Befragung oder Beobachtung der Experten bei der ihrer Prozessbedienung,
• Analyse des Prozesses und Erstellung einfacher Prozessmodelle,
• Ableitung von Daten aus dem vereinfachten Prozessmodell.

Projektierungstrategie:

• Modell der Grundmengen der Ein- und Ausgänge des Fuzzy-Controllers festlegen.
• Zugehörigkeitsfunktionen (Fuzzy-Sets) innerhalb der Grundmenge anordnen.
• Steuerregeln als Regelbasis aufstellen.

Beispiel einer linguistischen Steuerregel eines Fuzzy-Controllers mit zwei Eingangsgrößen und einer Ausgangsgröße:

Kurzfassung der Funktionen des Fuzzy-Controllers:

• Fuzzifizierung

• Inferenz:

• Defuzzifizierung: