Frobeniusgruppe Unter einer nach Ferdinand Georg Frobenius versteht man in der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Algeb

Frobeniusgruppe

Unter einer Frobeniusgruppe (nach Ferdinand Georg Frobenius) versteht man in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra, eine endliche Gruppe , in der eine Untergruppe existiert, welche die Eigenschaft besitzt (Wobei definiert ist durch ).

Eine solche Untergruppe nennt man dann Frobeniuskomplement.

Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Struktur von Frobeniusgruppen spielt der sogenannte Frobeniuskern, welcher durch

definiert ist. Genauer spricht man dann von dem Frobeniuskern in bezüglich des Frobeniuskomplementes .

Struktur von Frobeniusgruppen Bearbeiten

Der Satz von Frobenius über Frobeniusgruppen besagt, dass gilt. In der Tat ist sogar und es gilt als semidirektes Produkt. Ferner sind hallsch in und für je zwei Frobeniuskomplemente von gibt es ein mit der Eigenschaft oder .

Struktur ohne Darstellungstheorie Bearbeiten

Der oben erwähnte Satz von Frobenius lässt sich bis heute nur mit Mitteln der Darstellungstheorie beweisen. Daher ist es aus heutiger Sicht interessant, einen Beweis auf ausschließlich gruppentheoretischer Ebene zu erbringen. Dies ist bisweilen noch nicht geglückt, doch es sind Teilbeweise erfolgt, welche die Untergruppeneigenschaft von unter stärkeren Voraussetzungen nachweisen. Gilt eine der folgenden Eigenschaften, so ist

ist auflösbar
auflösbar
ist nicht einfach
auflösbar

All diese Ergebnisse lassen sich ohne Zuhilfenahme der Darstellungstheorie erzielen. Man beachte, dass die ersten beiden Aussagen mit Hilfe des Satzes von Feit & Thompson bereits liefern, dass immer eine Untergruppe ist. Der Satz von Feit und Thompson besagt, dass Gruppen ungerader Ordnung stets auflösbar sind. Ist also die Ordnung einer Frobeniusgruppe gerade, so liefert Punkt 1 , anderenfalls ist die Ordnung ungerade, so dass nach Feit-Thompson die Gruppe auflösbar ist, so dass Punkt 2 ergibt.

Allerdings wird auch dieser Satz unter Zuhilfenahme der Darstellungstheorie bewiesen, so dass er in diesem Zusammenhang nicht benutzt werden kann.

Beispiele Bearbeiten

Die symmetrische Gruppe vom Grad 3 ist eine Frobeniusgruppe. Dabei kommen drei verschiedene Frobeniuskomplemente in Frage, nämlich jeweils für , die drei Transpositionen der Gruppe. Der Frobeniuskern ist dann jeweils die alternierende Gruppe .
Die Gruppe der invertierbaren --Dreiecksmatrizen mit Determinante 1 über einem endlichen Körper mit ist eine Frobeniusgruppe. Dabei ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen das Frobeniuskomplement und die Gruppe der strikten Dreieckmatrizen (in der Hauptdiagonale nur Einsen) ist der Frobeniuskern.

Quellen Bearbeiten

Paul J. Flavell: A Note on Frobenius groups, Journal of Algebra 228, S. 367 ff. (pdf-File)
Nathan Jacobson: Basic Algebra II. S. 317 1980 W. H. Freeman and Company ISBN 071671079X.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 08, 2023, 06:38 am

Unter einer Frobeniusgruppe nach Ferdinand Georg Frobenius versteht man in der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Algebra eine endliche Gruppe G displaystyle G in der eine Untergruppe 1 H G displaystyle 1 subsetneqq H subsetneqq G existiert welche die Eigenschaft g G H H g H 1 displaystyle forall g in G setminus H H g cap H 1 besitzt Wobei H g displaystyle H g definiert ist durch H g g 1 h g h H displaystyle H g g 1 hg h in H Eine solche Untergruppe nennt man dann Frobeniuskomplement Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Struktur von Frobeniusgruppen spielt der sogenannte Frobeniuskern welcher durch K G g G H g 1 displaystyle K left G setminus bigcup g in G H g right cup left 1 right definiert ist Genauer spricht man dann von dem Frobeniuskern in G displaystyle G bezuglich des Frobeniuskomplementes H displaystyle H Inhaltsverzeichnis 1 Struktur von Frobeniusgruppen 2 Struktur ohne Darstellungstheorie 3 Beispiele 4 QuellenStruktur von Frobeniusgruppen BearbeitenDer Satz von Frobenius uber Frobeniusgruppen besagt dass K G displaystyle K leq G nbsp gilt In der Tat ist sogar K G displaystyle K triangleleft G nbsp und es gilt G H K displaystyle G HK nbsp als semidirektes Produkt Ferner sind H K displaystyle H K nbsp hallsch in G displaystyle G nbsp und fur je zwei Frobeniuskomplemente A B displaystyle A B nbsp von G displaystyle G nbsp gibt es ein g G displaystyle g in G nbsp mit der Eigenschaft A g B displaystyle A g leq B nbsp oder B g A displaystyle B g leq A nbsp Struktur ohne Darstellungstheorie BearbeitenDer oben erwahnte Satz von Frobenius lasst sich bis heute nur mit Mitteln der Darstellungstheorie beweisen Daher ist es aus heutiger Sicht interessant einen Beweis auf ausschliesslich gruppentheoretischer Ebene zu erbringen Dies ist bisweilen noch nicht gegluckt doch es sind Teilbeweise erfolgt welche die Untergruppeneigenschaft von K displaystyle K nbsp unter starkeren Voraussetzungen nachweisen Gilt eine der folgenden Eigenschaften so ist K G displaystyle K leq G nbsp H 0 mod 2 displaystyle left H right equiv 0 mod 2 nbsp H displaystyle H nbsp ist auflosbar 1 D G D K displaystyle exists 1 neq D triangleleft G D subseteq K nbsp 1 D G H N G D displaystyle exists 1 neq D leq G H leq N G D nbsp h H g G h h g displaystyle exists h in H forall g in G left langle h h g right rangle nbsp auflosbar G displaystyle G nbsp ist nicht einfach 1 D G D K p D 2 N G D K N G D displaystyle exists 1 neq D leq G D subseteq K wedge pi D neq left 2 right wedge N G D cap K neq N G D nbsp L G l L K L displaystyle exists L leq G exists l in L cap K L nbsp auflosbar L K 1 L K L o l 1 mod 2 displaystyle wedge L cap K neq 1 wedge L cap K neq L wedge o l equiv 1 mod 2 nbsp All diese Ergebnisse lassen sich ohne Zuhilfenahme der Darstellungstheorie erzielen Man beachte dass die ersten beiden Aussagen mit Hilfe des Satzes von Feit amp Thompson bereits liefern dass K displaystyle K nbsp immer eine Untergruppe ist Der Satz von Feit und Thompson besagt dass Gruppen ungerader Ordnung stets auflosbar sind Ist also die Ordnung einer Frobeniusgruppe gerade so liefert Punkt 1 K G displaystyle K leq G nbsp anderenfalls ist die Ordnung ungerade so dass nach Feit Thompson die Gruppe auflosbar ist so dass Punkt 2 K G displaystyle K leq G nbsp ergibt Allerdings wird auch dieser Satz unter Zuhilfenahme der Darstellungstheorie bewiesen so dass er in diesem Zusammenhang nicht benutzt werden kann Beispiele BearbeitenDie symmetrische Gruppe vom Grad 3 ist eine Frobeniusgruppe Dabei kommen drei verschiedene Frobeniuskomplemente in Frage namlich jeweils t displaystyle left langle tau right rangle nbsp fur t 12 13 23 displaystyle tau in left 12 13 23 right nbsp die drei Transpositionen der Gruppe Der Frobeniuskern ist dann jeweils die alternierende Gruppe A 3 displaystyle A 3 nbsp Die Gruppe der invertierbaren 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Dreiecksmatrizen mit Determinante 1 uber einem endlichen Korper mit K 3 displaystyle left K right geq 3 nbsp ist eine Frobeniusgruppe Dabei ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen das Frobeniuskomplement und die Gruppe der strikten Dreieckmatrizen in der Hauptdiagonale nur Einsen ist der Frobeniuskern Quellen BearbeitenPaul J Flavell A Note on Frobenius groups Journal of Algebra 228 S 367 ff pdf File Nathan Jacobson Basic Algebra II S 317 1980 W H Freeman and Company ISBN 071671079X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobeniusgruppe amp oldid 239364577