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Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale Die auch als englisch discrete time Fourier transform abgekürzt DTFT beze

Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale

Die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale, auch als englisch discrete-time Fourier transform, abgekürzt DTFT bezeichnet, ist eine lineare Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie bildet ein unendliches, zeitdiskretes Signal auf ein kontinuierliches, periodisches Frequenzspektrum ab, welches auch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DTFT ist mit der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) verwandt, welche mit diskreten Zeitsignalen und diskreten Spektren arbeitet. Die DTFT unterscheidet sich von der DFT darin, dass sie ein kontinuierliches Spektrum bildet, welches sich, unter Umständen, als abschnittsweise geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt. Wie auch die DFT bildet die DTFT im Bildbereich ein periodisch fortgesetztes Frequenzspektrum, welches als Spiegelspektrum bezeichnet wird.

Im Gegensatz zur DFT besitzt die DTFT nur eine geringe Bedeutung in praktischen Anwendungen wie der digitalen Signalverarbeitung, primärer Anwendungsbereich liegt bei der theoretischen Signalanalyse.

Definition Bearbeiten

Das Spektrum eines abgetasteten (diskreten) Zeitsignals, repräsentiert als eine Folge mit und der Abtastzeit , ist:

mit der imaginären Einheit und der Kreisfrequenz . Die inverse Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale über das Basisband ohne periodische Spektralanteile ist gegeben als:

Um die Abhängigkeit von der Abtastzeit in den Ausdrücken zu vermeiden, wird das Spektrum auf die Abtastfrequenz normiert und mit der so normierten Kreisfrequenz

lautet die DTFT:

und die inverse DTFT:

Eigenschaft Bearbeiten

Einige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale sind im Folgenden dargestellt.

Versatz Bearbeiten

Die im Zeitbereich verschobene Folge entspricht einer Phasendrehung (Modulation) im Spektralbereich:

Beweis:

Analog dazu entspricht ein im Frequenzbereich verschobenes Spektrum einer Phasendrehung im Zeitbereich:

Faltungseigenschaft Bearbeiten

Die DTFT eines Produktes zweier Wertefolgen und entspricht der Faltung der Spektren:

Umgekehrt entspricht der Faltung im Zeitbereich die Multiplikation im Bildbereich:

Literatur Bearbeiten

  • Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. 10. Auflage. VDE-Verlag, 2011, ISBN 978-3-8007-3257-9.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Fouriertransformation fur zeitdiskrete Signale auch als englisch discrete time Fourier transform abgekurzt DTFT bezeichnet ist eine lineare Transformation aus dem Bereich der Fourier Analysis Sie bildet ein unendliches zeitdiskretes Signal auf ein kontinuierliches periodisches Frequenzspektrum ab welches auch als Bildbereich bezeichnet wird Die DTFT ist mit der Diskreten Fourier Transformation DFT verwandt welche mit diskreten Zeitsignalen und diskreten Spektren arbeitet Die DTFT unterscheidet sich von der DFT darin dass sie ein kontinuierliches Spektrum bildet welches sich unter Umstanden als abschnittsweise geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lasst Wie auch die DFT bildet die DTFT im Bildbereich ein periodisch fortgesetztes Frequenzspektrum welches als Spiegelspektrum bezeichnet wird Im Gegensatz zur DFT besitzt die DTFT nur eine geringe Bedeutung in praktischen Anwendungen wie der digitalen Signalverarbeitung primarer Anwendungsbereich liegt bei der theoretischen Signalanalyse Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaft 2 1 Versatz 2 2 Faltungseigenschaft 3 LiteraturDefinition BearbeitenDas Spektrum X w displaystyle X omega nbsp eines abgetasteten diskreten Zeitsignals reprasentiert als eine Folge x n displaystyle x n nbsp mit n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp und der Abtastzeit t A 1 f A displaystyle t A 1 f A nbsp ist X w n x n e j w n t A D T F T x n displaystyle X omega sum n infty infty x n e mathrm j omega nt A mathrm DTFT x n nbsp mit der imaginaren Einheit j displaystyle mathrm j nbsp und der Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp Die inverse Fouriertransformation fur zeitdiskrete Signale uber das Basisband ohne periodische Spektralanteile ist gegeben als x n 1 w A w A 2 w A 2 X w e j w n t A d w t A f A 2 f A 2 X 2 p f e j 2 p f n t A d f D T F T 1 X w displaystyle x n frac 1 omega A int omega A 2 omega A 2 X omega cdot e mathrm j omega nt A mathrm d omega t A int f A 2 f A 2 X 2 pi f cdot e mathrm j 2 pi fnt A mathrm d f mathrm DTFT 1 X omega nbsp Um die Abhangigkeit von der Abtastzeit t A displaystyle t A nbsp in den Ausdrucken zu vermeiden wird das Spektrum auf die Abtastfrequenz f A displaystyle f A nbsp normiert und mit der so normierten Kreisfrequenz W w t A displaystyle Omega omega cdot t A nbsp lautet die DTFT X W n x n e j W n displaystyle X Omega sum n infty infty x n e mathrm j Omega n nbsp und die inverse DTFT x n 1 2 p p p X W e j W n d W displaystyle x n frac 1 2 pi int pi pi X Omega cdot e mathrm j Omega n mathrm d Omega nbsp Eigenschaft BearbeitenEinige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation fur zeitdiskrete Signale sind im Folgenden dargestellt Versatz Bearbeiten Die im Zeitbereich verschobene Folge x n n 0 displaystyle x n n 0 nbsp entspricht einer Phasendrehung Modulation im Spektralbereich D T F T x n n 0 e j W n 0 X W displaystyle mathrm DTFT x n n 0 e mathrm j Omega n 0 X Omega nbsp Beweis D T F T x n n 0 n x n n 0 e j W n m i t m n n 0 n m n 0 displaystyle mathrm DTFT x n n 0 sum n infty infty x n n 0 e mathrm j Omega n mit m n n 0 leftrightarrow n m n 0 nbsp m x m e j W m n 0 m x m e j W m e j W n 0 e j W n 0 m x m e j W m e j W n 0 D T F T x n e j W n 0 X W displaystyle begin aligned rightarrow sum m infty infty x m e mathrm j Omega m n 0 amp sum m infty infty x m e mathrm j Omega m cdot e mathrm j Omega n 0 e mathrm j Omega n 0 cdot sum m infty infty x m e mathrm j Omega m amp e mathrm j Omega n 0 cdot mathrm DTFT x n e mathrm j Omega n 0 X Omega end aligned nbsp Analog dazu entspricht ein im Frequenzbereich verschobenes Spektrum Y W W 0 displaystyle Y Omega Omega 0 nbsp einer Phasendrehung im Zeitbereich D T F T x n e j W 0 n X W W 0 displaystyle mathrm DTFT x n e mathrm j Omega 0 n X Omega Omega 0 nbsp Faltungseigenschaft Bearbeiten Die DTFT eines Produktes zweier Wertefolgen x n displaystyle x n nbsp und y n displaystyle y n nbsp entspricht der Faltung der Spektren D T F T x n y n 1 2 p X W Y W displaystyle mathrm DTFT x n cdot y n frac 1 2 pi X Omega Y Omega nbsp Umgekehrt entspricht der Faltung im Zeitbereich die Multiplikation im Bildbereich D T F T x n y n X W Y W displaystyle mathrm DTFT x n y n X Omega cdot Y Omega nbsp Literatur BearbeitenOtto Follinger Laplace Fourier und z Transformation 10 Auflage VDE Verlag 2011 ISBN 978 3 8007 3257 9 Alan V Oppenheim Ronald W Schafer Zeitdiskrete Signalverarbeitung 3 Auflage Oldenbourg Verlag 1999 ISBN 3 486 24145 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fouriertransformation fur zeitdiskrete Signale amp oldid 173597248