Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein filtrierter Kolimes auch direkter Limes oder induktiver Limes ein spezieller Kolimes Er kann in gewissen Fallen als Verallgemeinerung der Vereinigung betrachtet werden Elementare Definition fur teilgeordnete Indexmengen BearbeitenDie Indexmenge I displaystyle I leq nbsp sei eine feste gerichtete Menge Ein induktives System X i f i j displaystyle X i f ij nbsp besteht aus Objekten beispielsweise Mengen Gruppen oder topologischen Raumen X i displaystyle X i nbsp fur die Indizes i I displaystyle i in I nbsp sowie Ubergangsabbildungen f i j X i X j displaystyle f ij colon X i to X j nbsp fur i j displaystyle i leq j nbsp die mit der jeweiligen Struktur vertraglich sind d h Mengenabbildungen Gruppenhomomorphismen stetige Abbildungen topologischer Raume und folgende Bedingungen erfullen f i i id X i displaystyle f ii operatorname id X i nbsp fur alle i displaystyle i nbsp die identische Abbildung auf X i displaystyle X i nbsp und f i k f j k f i j displaystyle f ik f jk circ f ij nbsp fur alle i j k displaystyle i leq j leq k nbsp Der induktive Limes eines induktiven Systems X i f i j displaystyle X i f ij nbsp ist ein Objekt c o l i m n X n displaystyle mathrm colim n X n nbsp zusammen mit Abbildungen u i X i c o l i m n X n displaystyle u i colon X i to mathrm colim n X n nbsp die mit den f i j displaystyle f ij nbsp kompatibel sind d h u i u j f i j displaystyle u i u j circ f ij nbsp fur i j displaystyle i leq j nbsp mit der folgenden universellen Eigenschaft Kompatible Systeme von Abbildungen der X i displaystyle X i nbsp in ein beliebiges Testobjekt T displaystyle T nbsp entsprechen Abbildungen von c o l i m n X n displaystyle mathrm colim n X n nbsp nach T displaystyle T nbsp nbsp Das bedeutet Wann immer Abbildungen t i X i T displaystyle t i colon X i to T nbsp gegeben sind fur die t i t j f i j displaystyle t i t j circ f ij nbsp fur i j displaystyle i leq j nbsp gilt gibt es eine eindeutige Abbildung c c o l i m n X n T displaystyle c colon mathrm colim n X n to T nbsp von der die Abbildungen t i displaystyle t i nbsp herkommen d h t i c u i displaystyle t i c circ u i nbsp Der induktive Limes eines induktiven Systems Xi fi j von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Aquivalenzklassen i X i displaystyle coprod i X i sim nbsp in der disjunkten Vereinigung i X i displaystyle coprod i X i nbsp Hierbei sollen Elemente x X i displaystyle x in X i nbsp und y X j displaystyle y in X j nbsp aquivalent sein wenn ein k I displaystyle k in I nbsp existiert fur das f i k x f j k y X k displaystyle f ik x f jk y in X k nbsp gilt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Filtrierter Kolimes amp oldid 230572361
