Die fast konvexen Funktionen (englisch convex-like functions) bilden eine Verallgemeinerung der konvexen Funktionen und werden in der mathematischen Optimierung verwendet, da für sie einfache Regularitätsvoraussetzungen wie die Slater-Bedingung gelten, unter denen starke Dualität gilt und damit auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelten.
Definition Bearbeiten
Seien reelle Vektorräume und ein Ordnungskegel auf sowie eine nichtleere Teilmenge von . Dann heißt eine Abbildung fast konvex, wenn die Menge
konvex ist. Die Menge lässt sich äquivalent beschreiben als
Ist der Kegel ein echter Kegel und definiert damit eine verallgemeinerte Ungleichung , so lautet diese Menge
Beispiele Bearbeiten
Betrachtet man die Funktion mit und den echten Kegel sowie , so ist . Damit ist . Diese Menge ist konvex und damit ist die Sinusfunktion fast konvex.
Betrachtet man die Funktion
und definiert durch
auf mit dem Ordnungskegel . Für ist jeder Punkt der Bildmenge von der Form und damit ist . Analog folgt mit , dass . Somit ist
Da aber ist, kann die Menge nicht konvex sein, da zum Beispiel die Punkte und in enthalten sind, aber keiner der Punkte auf der Strecke zwischen ihnen. Zum Beispiel ist der Mittelpunkt dieser Strecke, aber nicht in enthalten.
Eigenschaften Bearbeiten
Jede konvexe Funktion ist fast konvex bezüglich des natürlichen Kegels . Dies folgt direkt aus der Konvexität des Epigraphs. Genauso ist auch jede K-konvexe Funktion fast konvex bezüglich ihres Kegels.
Verwendung Bearbeiten
Die fast konvexen Funktionen sind eine Funktionenklasse, die so definiert ist, dass wenn sie die Slater-Bedingung erfüllt, die starke Dualität gilt. Sei also ein Optimierungsproblem der Form
gegeben für einen Ordnungskegel mit nichtleerem Inneren und Abbildungen und . Dabei sind normierte reelle Vektorräume und die Funktion definiert durch ist fast konvex bezüglich des Kegels . Weiter sei eine beliebige nichtleere Teilmenge von .
Das Problem erfüllt nun die Slater-Bedingung, wenn es einen zulässigen Punkt gibt. Das heißt , so dass ist. Dabei bezeichnet das Innere einer Menge.
Erfüllt solch ein Problem mit fast konvexen Funktionen nun die Slater-Bedingung, so gilt starke Dualität und damit zum Beispiel auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. Der Begriff der fast konvexen Funktion erweitert also die Dualitätstheorie der konvexen Funktionen auf Probleme, die nicht notwendigerweise konvex sein müssen. Dies hat den Vorteil, dass die Slater-Bedingung im Gegensatz zu vielen anderen Regularitätsbedingungen oder „constraint qualifications“ die Regularität des gesamten Problemes liefert, und nicht nur die Regularität in einem Punkt.
Literatur Bearbeiten
- Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.