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Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form S f N 1 n N e f n displaystyle S f N sum limits 1 leq n leq N e left f n right fur ein N N displaystyle N in mathbb N wobei f 1 N R displaystyle f 1 N to mathbb R eine ublicherweise glatte Funktion und e x e 2 p i x displaystyle e x e 2 pi ix ist Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur z B bei Iwan Winogradow auch als trigonometrische Summen bezeichnet Ist f displaystyle f ein reelles Polynom so bezeichnet man S f N displaystyle S f N auch als Weyl Summe benannt nach Hermann Weyl 1 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Komplexe Verallgemeinerung 2 Geschichte 3 Literatur 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenDie Funktion e x displaystyle e x nbsp nennt man additiver Charakter auf R displaystyle mathbb R nbsp f displaystyle f nbsp nennt man Amplitudenfunktion und N displaystyle N nbsp Lange der Summe Der Shift des Argumentes wird mit S f N M M lt n N M e f n 1 n N e f n M displaystyle S f N M sum limits M lt n leq N M e left f n right sum limits 1 leq n leq N e left f n M right nbsp notiert wobei f displaystyle f nbsp nun auf dem Interval M 1 M N displaystyle M 1 M N nbsp definiert sein muss Komplexe Verallgemeinerung Bearbeiten Exponentialsummen konnen fur eine reelle Folge a n 1 n N displaystyle a n 1 leq n leq N nbsp auch auf 1 n N a n e f n displaystyle sum limits 1 leq n leq N a n e left f n right nbsp verallgemeinert werden Dies entspricht der obigen Definition mit der Wahl einer komplexen Funktion f 1 N C displaystyle f 1 N to mathbb C nbsp da a n e 2 p Im f n displaystyle a n e 2 pi operatorname Im f n nbsp Noch allgemeiner definiert man S F F N 1 N r 1 x 1 N 1 1 x r N r F x 1 x r e F x 1 x r displaystyle S Phi F N 1 dots N r sum limits 1 leq x 1 leq N 1 cdots sum limits 1 leq x r leq N r Phi x 1 dots x r e left F x 1 dots x r right nbsp fur eine beliebige komplex wertige Funktion F displaystyle Phi nbsp und eine reell wertige Funktion F displaystyle F nbsp 2 Geschichte BearbeitenWeyl veroffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie siehe Gleichverteilung modulo 1 3 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl Summen abzuschatzen welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird 4 1921 5 und 1922 6 veroffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten aus der eine weitere Methode zur Abschatzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird 1935 7 und 1936 8 veroffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschatzung von Weyl Summen 9 Zusatzlich veroffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschatzung von Exponentialsummen mit Primzahlen 10 11 Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet Literatur BearbeitenHenryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski Analytic Number Theory In American Mathematical Society Hrsg Colloquium Publications Band 53 2004 ISBN 0 8218 3633 1 S 197 227 Arkhipov G I und Chubarikov V N und Karatsuba A A Trigonometric sums in number theory and analysis Transl from the Russian In Berlin Walter de Gruyter Hrsg De Gruyter Expo Math Band 39 2004 ISBN 3 11 019798 7 doi 10 1515 9783110197983 Einzelnachweise Bearbeiten B M Bredikhin Weyl sum In encyclopediaofmath org Encyclopedia of Mathematics abgerufen am 8 Januar 2023 A A Karatsuba Trigonometric sum In encyclopediaofmath org Encyclopedia of Mathematics abgerufen am 8 Januar 2023 Hermann Weyl Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins In Math Ann Band 77 1916 S 313 352 Hermann Weyl Zur Abschatzung von z 1 t i displaystyle zeta 1 t mathrm i nbsp In Math Zeit Band 10 1921 S 88 101 J G van der Corput Zahlentheoretische Abschatzungen In Mathematische Annalen Band 84 1921 S 53 79 eudml org J G van der Corput Verscharfung der Abschatzung beim Teilerproblem In Math Ann Band 87 1922 S 39 65 doi 10 1007 BF01458035 I M Winogradow On Weyl s sums In Mat Sbornik Band 42 1935 S 521 530 I M Winogradow A new method of estimation of trigonometrical sums In Mat Sbornik Band 43 Nr 1 1936 S 175 188 Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski Analytic Number Theory In American Mathematical Society Hrsg Colloquium Publications Band 53 2004 ISBN 0 8218 3633 1 S 197 227 I M Winogradow The representation of an odd number as a sum of three prime numbers In Dokl Akad Nauk SSSR Band 15 Nr 2 1937 S 291 294 I M Winogradow Some theorems concerning the theory of prime numbers In Mat Sb Band 44 Nr 2 1937 S 179 196 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exponentialsumme amp oldid 229944924