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Eschenburg Raum Eschenburg Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeome

Eschenburg-Raum

Eschenburg-Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Sie sind die einfachsten nicht-homogenen Beispiele positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion Bearbeiten

Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe .

Seien und Tripel ganzer Zahlen mit . Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von auf der Lie-Gruppe , die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix und Rechtsmultiplikation mit wirkt. Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum

Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung, wenn nicht zu konjugiert ist, also wenn

gilt.

Für erhält man die Aloff-Wallach-Räume.

Eigenschaften Bearbeiten

Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der auf induzierte Metrik hat genau dann positive Schnittkrümmung, wenn

gilt.

Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in oder eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit. Es gilt und es gibt einen (orientierungs-umdrehenden) Diffeomorphismus zwischen und . Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Einträgen von und einen diffeomorphen Raum.

Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang .

Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung mit

Für die Kohomologiegruppen gilt

mit . Der Erzeuger von ist das Quadrat des Erzeugers von .

Literatur Bearbeiten

  • J.-H. Eschenburg: New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 66, 469-480 (1982)
  • K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces, Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002)
  • L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature, Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004)
  • B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces, Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005)
  • K. Grove, K. Shankar, W. Ziller: Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem, Asian J. Math. 10, 647-661 (2006)
  • T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds, Math. Ann. 339, 3-20 (2007)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eschenburg, op. cit.
  2. Grove-Shankar-Ziller, op. cit.
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Eschenburg Raume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie Sie sind die einfachsten nicht homogenen Beispiele positiv gekrummter Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenDie Eschenburg Raume entstehen als Biquotienten einer Links und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitaren Gruppe S U 3 displaystyle SU 3 nbsp Seien k k 1 k 2 k 3 displaystyle k k 1 k 2 k 3 nbsp und l l 1 l 2 l 3 displaystyle l l 1 l 2 l 3 nbsp Tripel ganzer Zahlen mit k 1 k 2 k 3 l 1 l 2 l 3 displaystyle k 1 k 2 k 3 l 1 l 2 l 3 nbsp Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von S 1 z C z 1 displaystyle S 1 left z in mathbb C colon z 1 right nbsp auf der Lie Gruppe S U 3 displaystyle SU 3 nbsp die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix diag z k 1 z k 2 z k 3 displaystyle operatorname diag z k 1 z k 2 z k 3 nbsp und Rechtsmultiplikation mit diag z l 1 z l 2 z l 3 displaystyle operatorname diag z l 1 z l 2 z l 3 nbsp wirkt Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg Raum E k l diag z k 1 z k 2 z k 3 S U 3 diag z l 1 z l 2 z l 3 displaystyle E kl operatorname diag z k 1 z k 2 z k 3 backslash SU 3 operatorname diag z l 1 z l 2 z l 3 nbsp Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung wenn diag z k 1 z k 2 z k 3 displaystyle operatorname diag z k 1 z k 2 z k 3 nbsp nicht zu diag z l 1 z l 2 z l 3 displaystyle operatorname diag z l 1 z l 2 z l 3 nbsp konjugiert ist also wenn k g V k 1 l 1 k 2 l 2 1 k g V k 1 l 2 k 2 l 1 1 k g V k 1 l 1 k 2 l 3 1 displaystyle kgV k 1 l 1 k 2 l 2 1 kgV k 1 l 2 k 2 l 1 1 kgV k 1 l 1 k 2 l 3 1 nbsp k g V k 1 l 2 k 2 l 3 1 k g V k 1 l 3 k 2 l 1 1 k g V k 1 l 3 k 2 l 2 1 displaystyle kgV k 1 l 2 k 2 l 3 1 kgV k 1 l 3 k 2 l 1 1 kgV k 1 l 3 k 2 l 2 1 nbsp gilt Fur l 0 0 0 displaystyle l 0 0 0 nbsp erhalt man die Aloff Wallach Raume Eigenschaften BearbeitenDie von einer gewissen links invarianten Metrik der S U 3 displaystyle SU 3 nbsp auf E k l displaystyle E kl nbsp induzierte Metrik 1 hat genau dann positive Schnittkrummung wenn k i min l 1 l 2 l 3 max l 1 l 2 l 3 displaystyle k i notin left min l 1 l 2 l 3 max l 1 l 2 l 3 right nbsp fur i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 nbsp gilt Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg Raumen So induziert jede Permutation der Eintrage in k displaystyle k nbsp oder l displaystyle l nbsp eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit Es gilt E k l E l k displaystyle E kl simeq E lk nbsp und es gibt einen orientierungs umdrehenden Diffeomorphismus zwischen E k l displaystyle E kl nbsp und E k l displaystyle E k l nbsp Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Eintragen von k displaystyle k nbsp und l displaystyle l nbsp einen diffeomorphen Raum Die Isometrie Gruppe eines Eschenburg Raumes hat Rang 3 displaystyle 3 nbsp 2 Insbesondere hat jeder Eschenburg Raum positiver Schnittkrummung eine eindeutige Darstellung E k l displaystyle E kl nbsp mit k k 1 k 2 l 1 l 2 k 1 k 2 displaystyle k k 1 k 2 l 1 l 2 k 1 k 2 nbsp l l 1 l 2 0 displaystyle l l 1 l 2 0 nbsp k 1 k 2 gt l 1 l 2 0 displaystyle k 1 geq k 2 gt l 1 geq l 2 geq 0 nbsp Fur die Kohomologiegruppen gilt H 1 E k l 0 H 2 E k l Z displaystyle H 1 E kl 0 H 2 E kl mathbb Z nbsp H 3 E k l 0 H 4 E k l Z r Z displaystyle H 3 E kl 0 H 4 E kl mathbb Z r mathbb Z nbsp mit r k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 3 l 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 3 displaystyle r vert k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 3 l 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 3 vert nbsp Der Erzeuger von H 4 displaystyle H 4 nbsp ist das Quadrat des Erzeugers von H 2 displaystyle H 2 nbsp Literatur BearbeitenJ H Eschenburg New examples of manifolds with strictly positive curvature Invent Math 66 469 480 1982 K Shankar Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces Mich Math J 50 125 141 2002 L Astor E Micha G Pastor On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature Proc AMS 132 3725 3729 2004 B Kruggel Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces Quart J Math 56 553 577 2005 K Grove K Shankar W Ziller Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem Asian J Math 10 647 661 2006 T Chinburg C Escher W Ziller Topological properties of Eschenburg spaces and 3 Sasakian manifolds Math Ann 339 3 20 2007 Einzelnachweise Bearbeiten Eschenburg op cit Grove Shankar Ziller op cit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eschenburg Raum amp oldid 225452498