In der Mathematik beschreibt der Endlichkeitssatz von Ahlfors die geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.
Endlichkeitssatz von Ahlfors Bearbeiten
Sei eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und ihr Diskontinuitätsbereich.
Dann hat endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.
Quantitative Version Bearbeiten
Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers zurück.
Sei eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit Erzeugern, dann ist
mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.
Für jede -invariante Zusammenhangskomponente gilt
mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.
Höhere Dimension Bearbeiten
Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von , gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.
Geschichte Bearbeiten
Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen und der Beweis 1967 von Greenberg vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.
Einzelnachweise Bearbeiten
- L. Bers: Inequalities for finitely generated Kleinian groups, Journal d'Analyse Mathématique 18, 23–41, 1967.
- M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
- M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
- L. Ahlfors: Finitely generated Kleinian groups, American Journal of Mathematics 86, 413–429, 1964.
- L. Greenberg: On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups, American Journal of Mathematics 89, 56–68, 1967.