Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren die eng damit zusammenhangen sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Einbettungen 3 Volltreue Funktoren 4 LiteraturDefinitionen BearbeitenSei T C D displaystyle T colon mathcal C rightarrow mathcal D nbsp ein Funktor zwischen zwei Kategorien C displaystyle mathcal C nbsp und D displaystyle mathcal D nbsp Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemass jedem Objekt X Ob C displaystyle X in operatorname Ob mathcal C nbsp und jedem Morphismus f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp aus MorC X Y displaystyle operatorname Mor mathcal C X Y nbsp wobei X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Objekte aus C displaystyle mathcal C nbsp seien ein Objekt T X Ob D displaystyle T X in operatorname Ob mathcal D nbsp beziehungsweise einen Morphismus T f MorD T X T Y displaystyle T f in operatorname Mor mathcal D T X T Y nbsp zu wobei gewisse Vertraglichkeitsbedingungen erfullt sind Zu jedem Paar X Y displaystyle X Y nbsp von Objekten aus C displaystyle mathcal C nbsp hat man im Falle von lokal kleinen Kategorien eine Abbildung TX Y MorC X Y MorD T X T Y f T f displaystyle T X Y colon operatorname Mor mathcal C X Y rightarrow operatorname Mor mathcal D T X T Y f mapsto T f nbsp Man nennt den Funktor T displaystyle T nbsp treu bzw voll bzw volltreu wenn die Abbildungen TX Y displaystyle T X Y nbsp fur jedes Paar X Y displaystyle X Y nbsp von Objekten aus C displaystyle mathcal C nbsp injektiv bzw surjektiv bzw bijektiv sind An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung vollig treu Einbettungen BearbeitenIst T C D displaystyle T colon mathcal C rightarrow mathcal D nbsp ein Funktor so beziehen sich die Begriffe treu voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw aller Morphismen insbesondere sagt die Treue des Funktors T displaystyle T nbsp nicht notwendigerweise aus dass eine der Abbildungen TOb Ob C Ob D X T X displaystyle T text Ob colon operatorname Ob mathcal C rightarrow operatorname Ob mathcal D X mapsto T X nbsp TMor Mor C Mor D f T f displaystyle T text Mor colon operatorname Mor mathcal C rightarrow operatorname Mor mathcal D f mapsto T f nbsp injektiv ist Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen Wenn der Funktor T displaystyle T nbsp treu ist so ist TOb displaystyle T text Ob nbsp genau dann injektiv wenn TMor displaystyle T text Mor nbsp injektiv ist Ist TMor displaystyle T text Mor nbsp injektiv und sind X Y Ob C displaystyle X Y in operatorname Ob mathcal C nbsp mit T X T Y displaystyle T X T Y nbsp so folgt T idX idT X idT Y T idY displaystyle T operatorname id X operatorname id T X operatorname id T Y T operatorname id Y nbsp also nach Voraussetzung idX idY displaystyle operatorname id X operatorname id Y nbsp und damit X Y displaystyle X Y nbsp Daher ist TOb displaystyle T text Ob nbsp injektiv Sei nun umgekehrt TOb displaystyle T text Ob nbsp injektiv und seien f g Mor C displaystyle f g in operatorname Mor mathcal C nbsp mit T f T g displaystyle T f T g nbsp Es ist f g displaystyle f g nbsp zu zeigen Zu den Morphismen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp gehoren Objekte X1 X2 Y1 Y2 displaystyle X 1 X 2 Y 1 Y 2 nbsp aus der Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp mit f X1 Y1 displaystyle f colon X 1 rightarrow Y 1 nbsp und g X2 Y2 displaystyle g colon X 2 rightarrow Y 2 nbsp Aus T f T g displaystyle T f T g nbsp folgt T X1 T X2 displaystyle T X 1 T X 2 nbsp und T Y1 T Y2 displaystyle T Y 1 T Y 2 nbsp Weil TOb displaystyle T text Ob nbsp nach Voraussetzung injektiv ist erhalten wir X1 X2 displaystyle X 1 X 2 nbsp und Y1 Y2 displaystyle Y 1 Y 2 nbsp Daher ist TX1 Y1 f Tf Tg TX1 Y1 g displaystyle T X 1 Y 1 f Tf Tg T X 1 Y 1 g nbsp und die Treue von T displaystyle T nbsp liefert wie gewunscht f g displaystyle f g nbsp Man nennt einen Funktor T displaystyle T nbsp eine Einbettung wenn TMor displaystyle T text Mor nbsp injektiv ist Fur einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem aquivalent zur Injektivitat von TOb displaystyle T text Ob nbsp Ist der Funktor T C D displaystyle T colon mathcal C rightarrow mathcal D nbsp eine Einbettung so bilden die Objekte T X X Ob C displaystyle T X X in operatorname Ob mathcal C nbsp mit den Morphismen T f f Mor C displaystyle T f f in operatorname Mor mathcal C nbsp eine Unterkategorie von D displaystyle mathcal D nbsp die mit T C displaystyle T mathcal C nbsp bezeichnet wird Da das fur beliebige Funktoren die keine Einbettungen sind im Allgemeinen nicht der Fall ist spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie Volltreue Funktoren BearbeitenIst der Funktor T C D displaystyle T colon mathcal C rightarrow mathcal D nbsp eine Einbettung und ist T displaystyle T nbsp ein voller Funktor so ist T C displaystyle T mathcal C nbsp eine volle Unterkategorie von D displaystyle mathcal D nbsp Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen Ist also T displaystyle T nbsp ein volltreuer Funktor so dass TOb displaystyle T text Ob nbsp injektiv ist so definiert T displaystyle T nbsp eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig fur die Kategorientheorie Seien T C D displaystyle T colon mathcal C rightarrow mathcal D nbsp ein volltreuer Funktor und f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp ein Morphismus der Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp Dann gilt f displaystyle f nbsp ist Isomorphismus displaystyle Leftrightarrow nbsp Tf displaystyle Tf nbsp ist Isomorphismus Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach Ist namlich f displaystyle f nbsp Isomorphismus so gibt es definitionsgemass einen weiteren Morphismus g Y X displaystyle g colon Y rightarrow X nbsp mit fg idY displaystyle fg operatorname id Y nbsp und gf idX displaystyle gf operatorname id X nbsp Da T displaystyle T nbsp Funktor ist folgt T f T g T fg T idY idT Y displaystyle T f circ T g T fg T operatorname id Y operatorname id T Y nbsp und genauso T g T f idT X displaystyle T g circ T f operatorname id T X nbsp das heisst T f displaystyle T f nbsp ist ein Isomorphismus Die Volltreue wird fur die Umkehrung benotigt Ist namlich T f T X T Y displaystyle T f colon T X rightarrow T Y nbsp ein Isomorphismus so gibt es einen Morphismus w T Y T X displaystyle w colon T Y rightarrow T X nbsp mit T f w idT Y displaystyle T f circ w operatorname id T Y nbsp und w T f idT X displaystyle w circ T f operatorname id T X nbsp Da T displaystyle T nbsp voll ist gibt es einen Morphismus g Y X displaystyle g colon Y rightarrow X nbsp mit T g w displaystyle T g w nbsp Dann folgt T fg T f T g T f w idT Y T idY displaystyle T fg T f circ T g T f circ w operatorname id T Y T operatorname id Y nbsp und genauso T gf T idX displaystyle T gf T operatorname id X nbsp Wegen der Treue von T displaystyle T nbsp folgt nun fg idY displaystyle fg operatorname id Y nbsp und gf idX displaystyle gf operatorname id X nbsp das heisst f displaystyle f nbsp ist ein Isomorphismus Literatur BearbeitenHorst Schubert Kategorien Heidelberger Taschenbucher 65 66 ISSN 0073 1684 Band 1 2 Springer Berlin u a 1970 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Treuer Funktor amp oldid 242911003
