Der Durchschnittssatz von Krull benannt nach Wolfgang Krull ist ein Satz aus der kommutativen Algebra der sich mit Potenzen von Idealen eines noetherschen Rings beschaftigt Er hat zur Folge dass eine gewisse Topologie auf endlich erzeugten Moduln uber einem noetherschen Ring hausdorffsch ist Formulierung des Satzes BearbeitenEs sei a R displaystyle mathfrak a subset R nbsp ein Ideal in einem kommutativen noetherschen Ring R displaystyle R nbsp und M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter R displaystyle R nbsp Modul Fur N i NaiM displaystyle textstyle N bigcap i in mathbb N mathfrak a i M nbsp gilt aN N displaystyle mathfrak a N N nbsp Ist zusatzlich a displaystyle mathfrak a nbsp im Jacobson Radikal enthalten so ist N i NaiM 0 displaystyle textstyle N bigcap i in mathbb N mathfrak a i M 0 nbsp Der Beweis ist eine einfache Anwendung des Satzes von Artin Rees Nach letzterem gibt es ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp so dass fur alle i gt k displaystyle i gt k nbsp gilt aiM N ai k akM N displaystyle mathfrak a i M cap N mathfrak a i k mathfrak a k M cap N nbsp Daraus folgt fur i k 1 displaystyle i k 1 nbsp N ak 1M N a1 akM N aN N displaystyle N subset mathfrak a k 1 M cap N mathfrak a 1 mathfrak a k M cap N subset mathfrak a N subset N nbsp und damit die erste Behauptung Die zweite folgt dann aus der ersten und dem Lemma von Nakayama 1 Anwendung BearbeitenIst M displaystyle M nbsp ein beliebiger R displaystyle R nbsp Modul so definieren die Potenzen a1M a2M a3M displaystyle mathfrak a 1 M supset mathfrak a 2 M supset mathfrak a 3 M supset ldots nbsp eine Nullumgebungsbasis in M displaystyle M nbsp und damit eine Topologie die sogenannte a displaystyle mathfrak a nbsp adische Topologie In dieser ist eine Menge U M displaystyle U subset M nbsp genau dann offen wenn es zu jedem x U displaystyle x in U nbsp ein i N displaystyle i in N nbsp gibt mit x aiM U displaystyle x mathfrak a i M subset U nbsp Ist M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter R displaystyle R nbsp Modul und a displaystyle mathfrak a nbsp ein im Jacobson Radikal enthaltenes Ideal so ist M displaystyle M nbsp mit der a displaystyle mathfrak a nbsp adischen Topologie ein Hausdorffraum Sind namlich x y displaystyle x y nbsp zwei verschiedene Elemente aus M displaystyle M nbsp so ist x y 0 displaystyle x y not 0 nbsp und daher x y aiM displaystyle x y notin mathfrak a i M nbsp fur hinreichend grosses i displaystyle i nbsp Dann sind x aiM displaystyle x mathfrak a i M nbsp und y aiM displaystyle y mathfrak a i M nbsp disjunkte Umgebungen von x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Algebraic Geometry and Commutative Algebra Springer Verlag 2012 ISBN 1 4471 4828 2 2 3 Theorem 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Durchschnittssatz von Krull amp oldid 216794735
