Das Lemma von Nakayama benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama ist der folgende Satz der kommutativen Algebra 1 Es sei M displaystyle M ein endlich erzeugter nichttrivialer R displaystyle R Modul und a displaystyle mathfrak a ein Ideal das im Jacobson Radikal von R displaystyle R liegt Dann ist a M M displaystyle mathfrak a M neq M Beweis BearbeitenWir nehmen a M M displaystyle mathfrak a M M nbsp an Es sei u 1 u n displaystyle u 1 ldots u n nbsp ein minimales Erzeugendensystem von M displaystyle M nbsp Da M displaystyle M nbsp nichttrivial ist folgt n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und u n 0 displaystyle u n not 0 nbsp Da nach Annahme u n a M displaystyle u n in mathfrak a M nbsp gabe es dann eine Gleichung der Form u n i 1 n a i u i displaystyle u n sum i 1 n a i u i nbsp mit a i a displaystyle a i in mathfrak a nbsp also 1 a n u n i 1 n 1 a i u i displaystyle 1 a n u n sum i 1 n 1 a i u i nbsp Da a n displaystyle a n nbsp im Jacobson Radikal liegt ist der Faktor 1 a n displaystyle 1 a n nbsp eine Einheit Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt Folgerungen BearbeitenIst M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter R displaystyle R nbsp Modul N displaystyle N nbsp ein Untermodul und a J R displaystyle mathfrak a subset J R nbsp ein Ideal so giltM a M N M N displaystyle M mathfrak a M N Rightarrow M N nbsp Diese Folgerung die zu obigem Lemma aquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird 2 kann man zum Heben von Basen verwenden Es seien R displaystyle R nbsp ein lokaler Ring m displaystyle mathfrak m nbsp sein maximales Ideal und k R m displaystyle kappa R mathfrak m nbsp der Restklassenkorper Sind dann x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp Urbilder einer Basis des k displaystyle kappa nbsp Vektorraums M m M displaystyle M mathfrak m M nbsp so erzeugen die x i displaystyle x i nbsp den Modul M displaystyle M nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Louis H Rowen Ring Theory Band 1 Academic Press Inc Boston u a 1988 ISBN 0 125 99841 4 Pure and Applied Mathematics 127 Satz 2 5 24 Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig u a 1980 ISBN 3 528 07246 6 Lemma IV 2 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Nakayama amp oldid 193988381
