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Doppelt stochastische Matrix In der Mathematik bezeichnet eine doppelt stochastische Matrix manchmal auch doppelt stocha

Doppelt-stochastische Matrix

In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen betragen und deren Elemente zwischen und liegen.

Charakterisierungen Bearbeiten

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen und liegen.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl als auch die transponierte Matrix Übergangsmatrizen sind.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren Bearbeiten

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert . Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor (das bezieht sich auf die Dimension der -Matrix ).

Satz von Birkhoff und von Neumann Bearbeiten

Für eine -Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik bezeichnet eine doppelt stochastische Matrix manchmal auch doppelt stochastische Ubergangsmatrix eine quadratische Matrix deren Zeilen und Spaltensummen 1 displaystyle 1 betragen und deren Elemente zwischen 0 displaystyle 0 und 1 displaystyle 1 liegen Inhaltsverzeichnis 1 Charakterisierungen 2 Eigenwerte und Eigenvektoren 3 Satz von Birkhoff und von Neumann 4 Literatur 5 WeblinksCharakterisierungen BearbeitenDie folgenden Charakterisierungen doppelt stochastischer Matrizen sind aquivalent Eine Matrix ist doppelt stochastisch genau dann wenn Zeilen und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp liegen Eine Matrix M displaystyle M nbsp ist doppelt stochastisch genau dann wenn sowohl M displaystyle M nbsp als auch die transponierte Matrix M T displaystyle M T nbsp Ubergangsmatrizen sind Eine Matrix ist doppelt stochastisch genau dann wenn Zeilen und Spaltensummen 1 displaystyle 1 nbsp betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind Eigenwerte und Eigenvektoren BearbeitenWie alle Ubergangsmatrizen besitzen auch doppelt stochastische Matrizen als betragsgrossten Eigenwert den Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp Da jede doppelt stochastische Matrix sowohl zeilen als auch spaltenstochastisch ist ist der Einsvektor 1 displaystyle mathbf 1 nbsp welcher nur Einsen als Eintrage hat sowohl Links als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt stochastischen Matrix Ist nun die Matrix M displaystyle M nbsp doppelt stochastisch und noch zusatzlich entweder irreduzibel oder echt positiv vgl Satz von Perron Frobenius so ist die einzige stationare Verteilung der Markow Kette die durch M displaystyle M nbsp charakterisiert wird die Gleichverteilung also der Wahrscheinlichkeitsvektor 1 n 1 displaystyle tfrac 1 n mathbf 1 nbsp das n displaystyle n nbsp bezieht sich auf die Dimension der n n displaystyle n times n nbsp Matrix M displaystyle M nbsp Satz von Birkhoff und von Neumann BearbeitenFur eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix gilt dass sie genau dann doppelt stochastisch ist wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist Zusatz Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt stochastischen Matrizen Literatur BearbeitenJoseph P S Kung Gian Carlo Rota Catherine H Yan Combinatorics The Rota Way Cambridge University Press Cambridge u a 2009 ISBN 978 0 521 73794 4 Peter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin u a 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Weblinks BearbeitenAndrea Ambrosio Stephen Forrest Birkhoff von Neumann theorem In PlanetMath englisch Eric W Weisstein Doubly Stochastic Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Doppelt stochastische Matrix amp oldid 234267577