Deflation bezeichnet eine Technik aus der numerischen Mathematik mit der eine Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n in Blockdreiecksform gebracht wird so dass das Spektrum von A displaystyle A gerade die Vereinigung der Spektren der Diagonalblocke ist Inhaltsverzeichnis 1 Deflationsprinzip 2 Deflation durch Ahnlichkeitstransformation 2 1 Theoretische Grundlage 2 2 Zahlenbeispiel 3 Literatur 4 Siehe auch 5 WeblinksDeflationsprinzip BearbeitenSei F End V displaystyle F in operatorname End V nbsp ein Endomorphismus und A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp die zugehorige Abbildungsmatrix Durch Basiswechsel kann diese Matrix in eine Matrix B displaystyle B nbsp der Form B B 11 B 12 0 B 22 displaystyle B colon begin pmatrix B 11 amp B 12 0 amp B 22 end pmatrix nbsp mit B i i C k i k i displaystyle B ii in mathbb C k i times k i nbsp fur i 1 2 displaystyle i in 1 2 nbsp und k 1 k 2 n displaystyle k 1 k 2 n nbsp transformiert werden Fur die Spektren s B i i displaystyle sigma B ii nbsp gilt s A s B 11 s B 22 displaystyle sigma A sigma B 11 cup sigma B 22 nbsp Anstelle des n n displaystyle n times n nbsp Eigenwertproblems A x l x displaystyle Ax lambda x nbsp kann man also die zwei kleineren Eigenwertprobleme B i i y l y i 1 2 displaystyle B ii y lambda y quad i 1 2 nbsp losen Diese Methode kann man iterativ fortsetzen Deflation durch Ahnlichkeitstransformation BearbeitenTheoretische Grundlage Bearbeiten Sei A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp eine quadratische Matrix und l v displaystyle lambda v nbsp ein Eigenpaar von A displaystyle A nbsp bestehend aus dem Eigenwert l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp und einem dazugehorigen Eigenvektor v C n displaystyle v in mathbb C n nbsp Dieses Eigenpaar kann man beispielsweise durch die Potenzmethode erhalten Die Matrix A displaystyle A nbsp wird nun mittels der Ahnlichkeitstransformation B T 1 A T displaystyle B colon T 1 AT nbsp in eine Matrix B displaystyle B nbsp uberfuhrt Die Transformationsmatrix T displaystyle T nbsp ist gegeben durch T I 2 w w T w T w displaystyle T colon I 2 tfrac ww T w T w nbsp mit w v v 2 e 1 displaystyle w v v 2 e 1 nbsp wobei I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix und e 1 1 0 0 T displaystyle e 1 colon begin pmatrix 1 amp 0 amp ldots amp 0 end pmatrix T nbsp ist Diese spezielle Basistransformation ist eine Householdertransformation Daher gilt T T 1 displaystyle T T 1 nbsp und die Matrix B displaystyle B nbsp hat die Gestalt B l b t 0 B 1 displaystyle B begin pmatrix lambda amp b t 0 amp B 1 end pmatrix nbsp Diese Matrix hat dieselben Eigenwerte wie die Matrix A displaystyle A nbsp Nun kann man wieder die Potenzmethode auf die Matrix B 1 displaystyle B 1 nbsp anwenden und erhalt so iterativ alle Eigenwerte Zahlenbeispiel Bearbeiten Sei A 1 1 3 4 2 1 3 1 9 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 1 amp 3 4 amp 2 amp 1 3 amp 1 amp 9 end pmatrix nbsp Durch die Potenzmethode erhalt man l 1 v 10 22459 0 2585012 0 3343480 0 9063049 T displaystyle lambda 1 v left 10 22459 begin pmatrix 0 2585012 amp 0 3343480 amp 0 9063049 end pmatrix T right nbsp als Eigenpaar von A displaystyle A nbsp Nun berechnet man die Transformationsmatrix T displaystyle T nbsp Es ist T I 2 w w T w T w displaystyle T I 2 frac ww T w T w nbsp wobei w v v 2 e 1 displaystyle w v v 2 e 1 nbsp ist Man erhalt T 0 258501 0 3343480 0 9063049 0 3343480 0 9111732 0 2407795 0 9063049 0 2407795 0 3473280 displaystyle T begin pmatrix 0 258501 amp 0 3343480 amp 0 9063049 0 3343480 amp 0 9111732 amp 0 2407795 0 9063049 amp 0 2407795 amp 0 3473280 end pmatrix nbsp und somit T A T 10 22459 3 5492494 0 5352000 0 1 5051646 2 3002829 0 1 7142389 0 2805751 displaystyle TAT begin pmatrix 10 22459 amp 3 5492494 amp 0 5352000 0 amp 1 5051646 amp 2 3002829 0 amp 1 7142389 amp 0 2805751 end pmatrix nbsp Die Eigenwerte der Matrix C 1 5051646 2 3002829 1 7142389 0 2805751 displaystyle C begin pmatrix 1 5051646 amp 2 3002829 1 7142389 amp 0 2805751 end pmatrix nbsp sind l 2 0 6122947 1 7737021 i displaystyle lambda 2 0 6122947 1 7737021i nbsp und l 3 0 6122947 1 7737021 i displaystyle lambda 3 0 6122947 1 7737021i nbsp somit ist s A 10 22459 0 6122947 1 7737021 i 0 6122947 1 7737021 i displaystyle sigma A 10 22459 0 6122947 1 7737021i 0 6122947 1 7737021i nbsp Literatur BearbeitenMartin Hanke Bourgeois Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens 1 Auflage B G Teubner Stuttgart 2002 ISBN 978 3 519 00356 4 Robert Schaback Helmut Werner Numerische Mathematik Vierte vollstandig uberarbeitete Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH Berlin Heidelberg 1992 ISBN 978 3 540 54738 9 Willi Tornig Numerische Mathematik fur Ingenieure und Physiker Band 1 Springer Verlag Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 1979 Siehe auch BearbeitenInverse IterationWeblinks BearbeitenGrundlagen der Numerischen Mathematik abgerufen am 8 September 2016 Einfuhrung in die Numerische Mathematik abgerufen am 8 September 2016 Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor abgerufen am 8 September 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Deflation Mathematik amp oldid 236892683
