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Boussinesq Approximation Unter oder Boussinesq Näherung businɛsk versteht man verschiedene Näherungen in der Hydrodynami

Boussinesq-Approximation

Unter Boussinesq-Approximation oder Boussinesq-Näherung [businɛsk] versteht man verschiedene Näherungen in der Hydrodynamik, die alle auf Joseph Boussinesq zurückgehen.

Strömung durch Auftrieb Bearbeiten

Zur Beschreibung von Strömungen in Flüssigkeiten (insbesondere Konvektion), die durch Dichtevariationen aufgrund von Temperaturschwankungen verursacht werden, wird eine Boussinesq-Näherung zu den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen genutzt. Die Dichteunterschiede werden ignoriert, sofern sie nicht in Termen erscheinen, die mit g, der Erdbeschleunigung, multipliziert werden. Das Wesen der Boussinesq-Approximation besteht darin, dass der Unterschied in der Trägheit vernachlässigbar ist, die Schwerkraft jedoch stark genug ist, um das spezifische Gewicht zwischen den beiden Flüssigkeiten merklich zu verändern.

Dazu werden die nicht zu großen Temperaturschwankungen (in ) nur in der Dichte- und Druckvariation berücksichtigt, ⁣ mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten .

Für die Fluktuation des Drucks gilt mit :

Die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung im Schwerefeld mit Schwerebeschleunigung wird:

Für die Beschreibung der Konvektion in der Näherung von Boussinesq kommen noch die Gleichung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds hinzu (abgeleitet aus der Kontinuitätsgleichung unter Vernachlässigung der Dichteschwankungen):

und die Gleichung für die Variation der Temperatur durch Wärmefluß:

wobei die Temperaturleitfähigkeit (für ) ist (innere Wärmequellen in der Flüssigkeit werden hier nicht angenommen).

Wasserwellen Bearbeiten

Die Boussinesq-Näherung ist eine Näherung, die für schwach nicht-lineare und langperiodische Wellen gilt und zu den Boussinesq-Gleichungen führt.

Turbulenz Bearbeiten

In der Theorie der Turbulenz wird die Boussinesq-Näherung in Wirbelviskositätsmodellen benutzt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zum Beispiel Wolfgang Polifke, Jan Kopitz, Wärmeübertragung, 2. Auflage, Pearson 2009, S. 469f
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Unter Boussinesq Approximation oder Boussinesq Naherung businɛsk versteht man verschiedene Naherungen in der Hydrodynamik die alle auf Joseph Boussinesq zuruckgehen Inhaltsverzeichnis 1 Stromung durch Auftrieb 2 Wasserwellen 3 Turbulenz 4 EinzelnachweiseStromung durch Auftrieb BearbeitenZur Beschreibung von Stromungen in Flussigkeiten insbesondere Konvektion die durch Dichtevariationen aufgrund von Temperaturschwankungen verursacht werden wird eine Boussinesq Naherung zu den inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen genutzt Die Dichteunterschiede werden ignoriert sofern sie nicht in Termen erscheinen die mit g der Erdbeschleunigung multipliziert werden Das Wesen der Boussinesq Approximation besteht darin dass der Unterschied in der Tragheit vernachlassigbar ist die Schwerkraft jedoch stark genug ist um das spezifische Gewicht zwischen den beiden Flussigkeiten merklich zu verandern Dazu werden die nicht zu grossen Temperaturschwankungen T s displaystyle T s nbsp in T T 0 T s displaystyle T T 0 T s nbsp nur in der Dichte und Druckvariation berucksichtigt mitr r 0 1 b T s displaystyle rho rho 0 1 beta T s nbsp dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten b displaystyle beta nbsp Fur die Fluktuation des Drucks p s displaystyle p s nbsp gilt mit p 0 r 0 g x displaystyle p 0 rho 0 mathbf g cdot mathbf x nbsp p r g p s r 0 b T s g displaystyle frac nabla p rho mathbf g frac nabla p s rho 0 beta T s mathbf g nbsp Die inkompressible Navier Stokes Gleichung im Schwerefeld mit Schwerebeschleunigung g displaystyle mathbf g nbsp wird 1 v t v v p r n D v g p s r 0 n D v b T s g displaystyle frac partial mathbf v partial t mathbf v cdot nabla mathbf v frac nabla p rho nu Delta mathbf v mathbf g frac nabla p s rho 0 nu Delta mathbf v beta T s mathbf g nbsp Fur die Beschreibung der Konvektion in der Naherung von Boussinesq kommen noch die Gleichung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds hinzu abgeleitet aus der Kontinuitatsgleichung unter Vernachlassigung der Dichteschwankungen v 0 displaystyle nabla cdot mathbf v 0 nbsp und die Gleichung fur die Variation der Temperatur durch Warmefluss T s t v T s a 2 T s displaystyle frac partial T s partial t mathbf v cdot nabla T s a nabla 2 T s nbsp wobei a displaystyle a nbsp die Temperaturleitfahigkeit fur r 0 T 0 displaystyle rho 0 T 0 nbsp ist innere Warmequellen in der Flussigkeit werden hier nicht angenommen Wasserwellen Bearbeiten Hauptartikel Boussinesq Gleichung Die Boussinesq Naherung ist eine Naherung die fur schwach nicht lineare und langperiodische Wellen gilt und zu den Boussinesq Gleichungen fuhrt Turbulenz Bearbeiten Hauptartikel Turbulenzmodell Statistische Modellierung In der Theorie der Turbulenz wird die Boussinesq Naherung in Wirbelviskositatsmodellen benutzt Einzelnachweise Bearbeiten Zum Beispiel Wolfgang Polifke Jan Kopitz Warmeubertragung 2 Auflage Pearson 2009 S 469f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Boussinesq Approximation amp oldid 235294084