www.wikidata.de-de.nina.az

Boussinesq Gleichung Die en sind nichtlineare Näherungsgleichungen für Wasserwellen in flachem Wasser und Partielle Diff

Boussinesq-Gleichung

Die Boussinesq-Gleichungen sind nichtlineare Näherungsgleichungen für Wasserwellen in flachem Wasser und Partielle Differentialgleichungen, die Joseph Boussinesq aufstellte. Sie sind über die Wassertiefe integrierte Gleichungen für Impuls- und Massenerhaltung.

Formulierung Bearbeiten

Es gibt verschiedene Versionen der Boussinesq-Gleichung, man spricht hier auch von Boussinesq-artigen Gleichungen.

Ursprünglich führte Boussinesq 1871/72 die Gleichung:

ein (auch manchmal mit positivem Vorzeichen vor oder anderen Koeffizienten). Die Gleichung ist exakt integrabel und hat Solitonenlösungen. Die Solitonen der Gleichung verhalten sich ungewöhnlich (zum Beispiel können sie zerfallen oder eine Singularität (Kollaps der Solitonen) in endlicher Zeit bilden).

Weitere Versionen in der Literatur sind die modifizierte Boussinesq-Gleichung:

oder das System von gekoppelten Gleichungen:

Daneben gibt es noch eine lineare Boussinesq-Gleichung:

Anwendung Bearbeiten

Die Boussinesq-Gleichung wird bei der Modellierung von Wasserwellen in flachem Gewässer (zum Beispiel Küste, Häfen, die Wellenlänge ist groß gegenüber der Wassertiefe) benutzt. Für die Simulation flacher Wasserwellen werden auch die Flachwassergleichungen (siehe unten) verwendet. Sie sind ebenfalls über die Wassertiefe integrierte Gleichungen für Impuls- und Massenbilanz, die Boussinesq-Näherung berücksichtigt aber auch die Dispersion der Wellen (das heißt unterschiedliche Geschwindigkeit bei verschiedenen Wellenlängen). Die Flachwassergleichungen sind im Vergleich dazu einfachere, eingeschränkte Modelle, da sie von einer hydrostatischen Druckverteilung über die Tiefe ausgehen und keine vertikale Geschwindigkeitskomponente berücksichtigen, was zum Beispiel bei sehr hohen Wellen und Wassersprüngen nicht mehr zulässig ist. Will man das Verhalten noch genauer auch lokal modellieren muss man auf eine Simulation der Navier-Stokes-Gleichungen zurückgreifen.

Ableitung der Boussinesq-Gleichung Bearbeiten

Gemeint ist hier Gleichung (1). Die Strömung sei wirbelfrei (so dass sich ein Geschwindigkeitspotential angeben lässt) und inkompressibel (daraus folgt, dass das Geschwindigkeitspotential Lösung der Laplacegleichung ist). Mit Geschwindigkeitskomponenten in Horizontalrichtung x und in senkrechter Richtung z, der Auslenkung der freien Flüssigkeitsoberfläche (Ruhelage sei bei ) und der Flüssigkeitstiefe (Boden bei ) ergibt sich aus der Inkompressibilität die kinematische Randbedingung:

Aus der Impulsbilanz ergibt sich die dynamische Randbedingung (eine Form der Bernoulli-Gleichung):

Das sind die üblichen Gleichungen für Wasserwellen mit freien Rand.

Zusätzlich wird noch eine Randbedingung am Boden betrachtet .

Boussinesq entwickelte das Geschwindigkeitspotential am Boden (Index b) in eine Taylorreihe:

Benutzt man die Laplacegleichung () und die Randbedingung folgt:

Setzt man die Taylorreihe bis zur 4. Ordnung in die Gleichungen (2), (3) für Wasserwellen ein und behält nur Terme, die linear oder quadratisch in und sind, erhält man:

In der Ableitung wurde eine näherungsweise konstante Wassertiefe angenommen. Vernachlässigt man die rechte Seite erhält man die Flachwassergleichungen.

Mit einigen weiteren Annahmen leitete Boussinesq daraus die Gleichung

ab. Die Gleichung kann nach entsprechender Normierung in dimensionslosen Parametern formuliert werden:

mit:

: die dimensionslose Wellenhöhe
: die dimensionslose Zeit
: die dimensionslose horizontale Position

Bemerkung: Eine lineare Näherung der obigen Wasserwellen-Gleichungen (2), (3) für kleine Amplituden ist

am freien Rand und mit in der Tiefe , was die lineare Theorie der Wasserwellen (Airy-Theorie) ergibt. Die Boussinesq-Näherung erlaubt aber auch die Behandlung nichtlinearer Effekte, was sich zum Beispiel auf die Dispersion der Wasserwellen auswirkt.

Literatur Bearbeiten

  • Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 163ff (Kapitel 4)

Originalarbeiten:

  • Boussinesq: Théorie de l'intumescence liquide, applelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire, Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Band 72, 1871, S. 755–759.
  • Boussinesq: Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Deuxième Série, Band 17, 1872, S. 55–108.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 52
  2. Nach Whitham, Linear and Nonlinear Waves 1974, z. B. Vorfaktor 3 vor
  3. L. V. Bogdanov, V. E. Zakharov, The Boussinesq equation revisited, Physica D, Band 165, 2002, S. 137–162, pdf
  4. Ablowitz, Clarkson, loc. cit.
  5. Wolfram, Mathworld, Artikel Boussinesq equation, siehe Weblinks
  6. Markus Witting, Heinz-Dieter Niemyer, Mathematische Modellierung von Wellenauf- und überlauf, Die Küste, Band 71, 2006, S. 93-123, pdf
  7. Das in diesem Abschnitt definierte u hat nichts mit dem u im Abschnitt oben zu tun, wo u einfach die Lösung der unten abgeleiteten dimensionslosen Boussinesq-Gleichung angibt.
  8. z. B. Lokenath Debnath, Nonlinear Water Waves, Academic Press 1994, S. 12 oder R. S. Johnson, A modern introduction to the mathematical theory of water waves, Cambridge UP, 1997, S. 15f.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Boussinesq Gleichungen sind nichtlineare Naherungsgleichungen fur Wasserwellen in flachem Wasser und Partielle Differentialgleichungen die Joseph Boussinesq aufstellte Sie sind uber die Wassertiefe integrierte Gleichungen fur Impuls und Massenerhaltung Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Anwendung 3 Ableitung der Boussinesq Gleichung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenEs gibt verschiedene Versionen der Boussinesq Gleichung man spricht hier auch von Boussinesq artigen Gleichungen Ursprunglich fuhrte Boussinesq 1871 72 die Gleichung 1 utt uxx u2xx uxxxx 0 displaystyle u tt u xx u 2 xx u xxxx 0 qquad nbsp Gleichung 1 ein auch manchmal mit positivem Vorzeichen vor uxxxx displaystyle u xxxx nbsp oder anderen Koeffizienten 2 Die Gleichung ist exakt integrabel und hat Solitonenlosungen Die Solitonen der Gleichung verhalten sich ungewohnlich zum Beispiel konnen sie zerfallen oder eine Singularitat Kollaps der Solitonen in endlicher Zeit bilden 3 Weitere Versionen in der Literatur sind 4 die modifizierte Boussinesq Gleichung 3utt 6utuxx 6ux2uxx uxxxx 0 displaystyle 3u tt 6u t u xx 6 u x 2 u xx u xxxx 0 nbsp oder das System von gekoppelten Gleichungen ut uv x vxxx 0 displaystyle u t uv x v xxx 0 nbsp vt ux vvx 0 displaystyle v t u x vv x 0 nbsp Daneben gibt es noch eine lineare Boussinesq Gleichung 5 utt a2uxx b2uxxtt displaystyle u tt alpha 2 u xx beta 2 u xxtt nbsp Anwendung BearbeitenDie Boussinesq Gleichung wird bei der Modellierung von Wasserwellen in flachem Gewasser zum Beispiel Kuste Hafen die Wellenlange ist gross gegenuber der Wassertiefe benutzt 6 Fur die Simulation flacher Wasserwellen werden auch die Flachwassergleichungen siehe unten verwendet Sie sind ebenfalls uber die Wassertiefe integrierte Gleichungen fur Impuls und Massenbilanz die Boussinesq Naherung berucksichtigt aber auch die Dispersion der Wellen das heisst unterschiedliche Geschwindigkeit bei verschiedenen Wellenlangen Die Flachwassergleichungen sind im Vergleich dazu einfachere eingeschrankte Modelle da sie von einer hydrostatischen Druckverteilung uber die Tiefe ausgehen und keine vertikale Geschwindigkeitskomponente berucksichtigen was zum Beispiel bei sehr hohen Wellen und Wassersprungen nicht mehr zulassig ist Will man das Verhalten noch genauer auch lokal modellieren muss man auf eine Simulation der Navier Stokes Gleichungen zuruckgreifen Ableitung der Boussinesq Gleichung BearbeitenGemeint ist hier Gleichung 1 Die Stromung sei wirbelfrei so dass sich ein Geschwindigkeitspotential f x z displaystyle varphi x z nbsp angeben lasst und inkompressibel daraus folgt dass das Geschwindigkeitspotential Losung der Laplacegleichung ist Mit Geschwindigkeitskomponenten 7 u fx displaystyle u varphi x nbsp in Horizontalrichtung x und v fz displaystyle v varphi z nbsp in senkrechter Richtung z der Auslenkung der freien Flussigkeitsoberflache h x displaystyle eta x nbsp Ruhelage sei h 0 displaystyle eta 0 nbsp bei z 0 displaystyle z 0 nbsp und der Flussigkeitstiefe d displaystyle d nbsp Boden bei z d displaystyle z d nbsp ergibt sich aus der Inkompressibilitat die kinematische Randbedingung ht uhx v displaystyle eta t u eta x v qquad nbsp Gleichung 2 Aus der Impulsbilanz ergibt sich die dynamische Randbedingung eine Form der Bernoulli Gleichung ft u2 v22 gh 0 displaystyle varphi t frac u 2 v 2 2 g eta 0 qquad nbsp Gleichung 3 Das sind die ublichen Gleichungen fur Wasserwellen mit freien Rand 8 Zusatzlich wird noch eine Randbedingung am Boden betrachtet v 0 displaystyle v 0 nbsp Boussinesq entwickelte das Geschwindigkeitspotential am Boden Index b in eine Taylorreihe f fb z d f z z d 12 z d 2 2f z2 z d 16 z d 3 3f z3 z d 124 z d 4 4f z4 z d displaystyle begin aligned varphi amp varphi b z d left frac partial varphi partial z right z d frac 1 2 z d 2 left frac partial 2 varphi partial z 2 right z d amp frac 1 6 z d 3 left frac partial 3 varphi partial z 3 right z d frac 1 24 z d 4 left frac partial 4 varphi partial z 4 right z d cdots end aligned nbsp Benutzt man die Laplacegleichung 2f z2 2f x2 0 displaystyle frac partial 2 varphi partial z 2 frac partial 2 varphi partial x 2 0 nbsp und die Randbedingung f z z d vz d vb 0 displaystyle left frac partial varphi partial z right z d v z d v b 0 nbsp folgt f fb 12 z d 2 2fb x2 124 z d 4 4fb x4 z d f z z d 16 z d 3 2 x2 f z z d fb 12 z d 2 2fb x2 124 z d 4 4fb x4 displaystyle begin aligned varphi amp left varphi b frac 1 2 z d 2 frac partial 2 varphi b partial x 2 frac 1 24 z d 4 frac partial 4 varphi b partial x 4 cdots right amp left z d left frac partial varphi partial z right z d frac 1 6 z d 3 frac partial 2 partial x 2 left frac partial varphi partial z right z d cdots right amp left varphi b frac 1 2 z d 2 frac partial 2 varphi b partial x 2 frac 1 24 z d 4 frac partial 4 varphi b partial x 4 cdots right end aligned nbsp Setzt man die Taylorreihe bis zur 4 Ordnung in die Gleichungen 2 3 fur Wasserwellen ein und behalt nur Terme die linear oder quadratisch in ub fb x displaystyle u b frac varphi b partial x nbsp und h displaystyle eta nbsp sind erhalt man h t x d h ub 16d3 3ub x3 ub t ub ub x g h x 12d2 3ub t x2 displaystyle begin aligned frac partial eta partial t amp frac partial partial x left left d eta right u b right frac 1 6 d 3 frac partial 3 u b partial x 3 frac partial u b partial t amp u b frac partial u b partial x g frac partial eta partial x frac 1 2 d 2 frac partial 3 u b partial t partial x 2 end aligned nbsp In der Ableitung wurde eine naherungsweise konstante Wassertiefe angenommen Vernachlassigt man die rechte Seite erhalt man die Flachwassergleichungen Mit einigen weiteren Annahmen leitete Boussinesq daraus die Gleichung 2h t2 gd 2h x2 gd 2 x2 32h2d 13d2 2h x2 0 displaystyle frac partial 2 eta partial t 2 gd frac partial 2 eta partial x 2 gd frac partial 2 partial x 2 left frac 3 2 frac eta 2 d frac 1 3 d 2 frac partial 2 eta partial x 2 right 0 nbsp ab Die Gleichung kann nach entsprechender Normierung in dimensionslosen Parametern formuliert werden 2ps t2 2ps 32 2 32 3ps2 2ps 32 0 displaystyle frac partial 2 psi partial tau 2 frac partial 2 psi partial xi 2 frac partial 2 partial xi 2 left 3 psi 2 frac partial 2 psi partial xi 2 right 0 nbsp mit ps 12hd displaystyle psi frac 1 2 frac eta d nbsp die dimensionslose Wellenhohet 3tgd displaystyle tau sqrt 3 t sqrt frac g d nbsp die dimensionslose Zeit3 3xd displaystyle xi sqrt 3 frac x d nbsp die dimensionslose horizontale PositionBemerkung Eine lineare Naherung der obigen Wasserwellen Gleichungen 2 3 fur kleine Amplituden ist ht v displaystyle eta t v nbsp ft gh 0 displaystyle varphi t g eta 0 nbsp am freien Rand und mit v 0 displaystyle v 0 nbsp in der Tiefe d displaystyle d nbsp was die lineare Theorie der Wasserwellen Airy Theorie ergibt Die Boussinesq Naherung erlaubt aber auch die Behandlung nichtlinearer Effekte was sich zum Beispiel auf die Dispersion der Wasserwellen auswirkt Literatur BearbeitenAblowitz Clarkson Solitons nonlinear evolution equations and inverse scattering Cambridge University Press 1991 S 163ff Kapitel 4 Originalarbeiten Boussinesq Theorie de l intumescence liquide applelee onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire Comptes Rendus de l Academie des Sciences Band 72 1871 S 755 759 Boussinesq Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d un canal rectangulaire horizontal en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond Journal de Mathematiques Pures et Appliquees Deuxieme Serie Band 17 1872 S 55 108 Weblinks BearbeitenBoussinesq equation MathworldEinzelnachweise Bearbeiten Ablowitz Clarkson Solitons nonlinear evolution equations and inverse scattering Cambridge University Press 1991 S 52 Nach Whitham Linear and Nonlinear Waves 1974 z B Vorfaktor 3 vor u2xx displaystyle u 2 xx nbsp L V Bogdanov V E Zakharov The Boussinesq equation revisited Physica D Band 165 2002 S 137 162 pdf Ablowitz Clarkson loc cit Wolfram Mathworld Artikel Boussinesq equation siehe Weblinks Markus Witting Heinz Dieter Niemyer Mathematische Modellierung von Wellenauf und uberlauf Die Kuste Band 71 2006 S 93 123 pdf Das in diesem Abschnitt definierte u hat nichts mit dem u im Abschnitt oben zu tun wo u einfach die Losung der unten abgeleiteten dimensionslosen Boussinesq Gleichung angibt z B Lokenath Debnath Nonlinear Water Waves Academic Press 1994 S 12 oder R S Johnson A modern introduction to the mathematical theory of water waves Cambridge UP 1997 S 15f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Boussinesq Gleichung amp oldid 207772062