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Bolzanofunktion Die ist historisch die erste Konstruktion einer Funktion die zwar stetig aber nirgends differenzierbar i

Bolzanofunktion

Die Bolzanofunktion ist historisch die erste Konstruktion einer Funktion, die zwar stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Sie ist nach ihrem Entdecker Bernard Bolzano benannt, sie wurde von ihm um 1830 gefunden und in seinem Manuskript Functionenlehre präsentiert (das aber erst 1930 veröffentlicht wurde).

Bernard Bolzano

Bekannt wurde die Möglichkeit der Existenz stetiger, aber nirgends differenzierbarer Funktionen durch Karl Weierstraß (Vortrag vor der Berliner Akademie 1872), was damals auf viele schockierend wirkte. Weierstraß’ Beispielfunktion wurde durch Paul Du Bois-Reymond 1875 veröffentlicht. Auch Bernhard Riemann präsentierte eine solche 1861 in seinen Vorlesungen, und seitdem wurden viele weitere konstruiert.

Definition Bearbeiten

Die Bolzanofunktion ist als der Grenzwert einer Funktionenfolge definiert. Ferner kann man Definitionsbereich und Bildmenge als beliebige abgeschlossene Intervalle reeller Zahlen auswählen.

Sei also der gewünschte Definitionsbereich und die gewünschte Bildmenge.

Transformation eines linearen Stückes von (gestrichelt) zu einem Bestandteil von (durchgezogen)

wird als lineare Funktion mit den Eckpunkten , definiert:

wird als stückweise lineare Funktion auf vier Intervallen definiert, mit den folgenden fünf Eckpunkten:

wird als lineare Funktion definiert, indem man jedes lineare Stück von so transformiert, wie man zu transformiert hat, indem man neue Werte für , , und einsetzt, sodass und den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

definiert man für ein beliebiges , indem man jedes lineare Stück von so transformiert, wie man zu transformiert hat, indem man neue Werte für , , und einsetzt, sodass und den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

Die Bolzanofunktion ist der punktweise Grenzwert dieser Funktionenfolge: .

Quellen Bearbeiten

  • B. Bolzano: Functionenlehre. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Karel Rychlik. In: Bernard Bolzanos Schriften, herausgegeben von der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 1, Prag 1930.
  • Johan Thim: Continuous Nowhere Differentiable Functions. (pdf; 650 kB) Masterarbeit, Luleå University of Technology. Oktober 2003, S. 11–17, abgerufen am 16. September 2013 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hans Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, S, 225/6
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Veröffentlichungsdatum:
Die Bolzanofunktion ist historisch die erste Konstruktion einer Funktion die zwar stetig aber nirgends differenzierbar ist Sie ist nach ihrem Entdecker Bernard Bolzano benannt sie wurde von ihm um 1830 gefunden und in seinem Manuskript Functionenlehre prasentiert das aber erst 1930 veroffentlicht wurde 1 Bernard BolzanoBekannt wurde die Moglichkeit der Existenz stetiger aber nirgends differenzierbarer Funktionen durch Karl Weierstrass Vortrag vor der Berliner Akademie 1872 was damals auf viele schockierend wirkte Weierstrass Beispielfunktion wurde durch Paul Du Bois Reymond 1875 veroffentlicht Auch Bernhard Riemann prasentierte eine solche 1861 in seinen Vorlesungen und seitdem wurden viele weitere konstruiert Definition BearbeitenDie Bolzanofunktion ist als der Grenzwert einer Funktionenfolge definiert Ferner kann man Definitionsbereich und Bildmenge als beliebige abgeschlossene Intervalle reeller Zahlen auswahlen Sei also a b displaystyle a b nbsp der gewunschte Definitionsbereich und A B displaystyle A B nbsp die gewunschte Bildmenge nbsp Transformation eines linearen Stuckes von B k 1 displaystyle B k 1 nbsp gestrichelt zu einem Bestandteil von B k displaystyle B k nbsp durchgezogen B 1 displaystyle B 1 nbsp wird als lineare Funktion mit den Eckpunkten B 1 a A displaystyle B 1 a A nbsp B 1 b B displaystyle B 1 b B nbsp definiert B 1 x A B A b a x a displaystyle B 1 x A frac B A b a x a nbsp B 2 displaystyle B 2 nbsp wird als stuckweise lineare Funktion auf vier Intervallen definiert mit den folgenden funf Eckpunkten B 2 a A displaystyle B 2 a A nbsp B 2 a 3 8 b a A 5 8 B A displaystyle B 2 left a frac 3 8 b a right A frac 5 8 B A nbsp B 2 1 2 a b A 1 2 B A displaystyle B 2 left frac 1 2 a b right A frac 1 2 B A nbsp B 2 a 7 8 b a B 1 8 B A displaystyle B 2 left a frac 7 8 b a right B frac 1 8 B A nbsp B 2 b B displaystyle B 2 b B nbsp B 3 displaystyle B 3 nbsp wird als lineare Funktion definiert indem man jedes lineare Stuck von B 2 displaystyle B 2 nbsp so transformiert wie man B 1 displaystyle B 1 nbsp zu B 2 displaystyle B 2 nbsp transformiert hat indem man neue Werte fur a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp einsetzt sodass a A displaystyle a A nbsp und b B displaystyle b B nbsp den Eckpunkten des linearen Stuckes entsprechen B k displaystyle B k nbsp definiert man fur ein beliebiges k N k 2 displaystyle k in mathbb N k geq 2 nbsp indem man jedes lineare Stuck von B k 1 displaystyle B k 1 nbsp so transformiert wie man B 1 displaystyle B 1 nbsp zu B 2 displaystyle B 2 nbsp transformiert hat indem man neue Werte fur a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp einsetzt sodass a A displaystyle a A nbsp und b B displaystyle b B nbsp den Eckpunkten des linearen Stuckes entsprechen Die Bolzanofunktion B displaystyle B nbsp ist der punktweise Grenzwert dieser Funktionenfolge B x lim k B k x displaystyle B x lim k to infty B k x nbsp Quellen BearbeitenB Bolzano Functionenlehre Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Karel Rychlik In Bernard Bolzanos Schriften herausgegeben von der Koniglich Bohmischen Gesellschaft der Wissenschaften Bd 1 Prag 1930 Johan Thim Continuous Nowhere Differentiable Functions pdf 650 kB Masterarbeit Lulea University of Technology Oktober 2003 S 11 17 abgerufen am 16 September 2013 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Hans Wussing Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik Berlin VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1979 S 225 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bolzanofunktion amp oldid 230820301