Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.
Definition Bearbeiten
Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl zu:
- , wobei die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
- für Nachfolger-Ordinalzahlen . Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
- für Limes-Ordinalzahlen .
Bemerkungen Bearbeiten
Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit , denn ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu , das heißt für alle Ordinalzahlen .
Eine Limes-Kardinalzahl heißt ein starker Limes, wenn für alle Kardinalzahlen . Eine Kardinalzahl ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn für eine Limes-Ordinalzahl ist.
Es gilt für alle Ordinalzahlen . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen , für die gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge , der informal als dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, S. 55.
- W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.