www.wikidata.de-de.nina.az

Basisartige Kohomologie In der Mathematik ist die basisartige Kohomologie oder basische Kohomologie engl basic cohomolog

Basisartige Kohomologie

In der Mathematik ist die basisartige Kohomologie oder basische Kohomologie (engl.: basic cohomology) eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blätterungen, die insbesondere zur Untersuchung Riemannscher Blätterungen eingesetzt wird. Der Name bezieht sich darauf, dass die basisartige Kohomologie die Topologie des Raums der Blätter beschreibt und insbesondere im Fall eines Faserbündels mit der De-Rham-Kohomologie des Basisraumes des Bündels übereinstimmt. Die Definition geht auf Reinhart zurück.

Definition Bearbeiten

Sei eine -dimensionale Blätterung einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit. Der Komplex der basisartigen Formen ist definiert als Unterkomplex des Komplexes der Differentialformen durch

Hierbei bezeichnet das innere Produkt und die äußere Ableitung.

Die äußere Ableitung bildet auf ab. Die basisartige Kohomologie ist definiert als die Kohomologie des Komplexes

Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten

  • Wenn die Blätterung durch die Fasern eines Faserbündels ist, dann gilt .
  • Es gilt genau dann, wenn es auf eine Riemannsche Metrik gibt, für die alle Blätter Minimalflächen sind.
  • Poincaré-Dualität hält für die basisartige Kohomologie einer Blätterung nur dann, wenn gilt, was im Allgemeinen auch für Riemannsche Blätterungen nicht notwendig der Fall ist.
  • Für die schwache stabile (oder die schwache instabile) (m+1)-dimensionale Blätterung eines Anosov-Flusses auf einer (2m+1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit gilt .
  • Die basisartige Kohomologie ist invariant unter -Diffeomorphismen, aber im Allgemeinen nicht unter Homöomorphismen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Tondeur, Philippe: Foliations on Riemannian manifolds. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1988. ISBN 0-387-96707-9
  • Molino, Pierre: Riemannian foliations. Translated from the French by Grant Cairns. With appendices by Cairns, Y. Carrière, É. Ghys, E. Salem and V. Sergiescu. Progress in Mathematics, 73. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-8176-3370-7

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Reinhart, Bruce L.: Harmonic integrals on foliated manifolds. Amer. J. Math. 81 (1959), 529–536.
  2. Masa, Xosé: Duality and minimality in Riemannian foliations. Comment. Math. Helv. 67 (1992), no. 1, 17–27.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die basisartige Kohomologie oder basische Kohomologie engl basic cohomology eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blatterungen die insbesondere zur Untersuchung Riemannscher Blatterungen eingesetzt wird Der Name bezieht sich darauf dass die basisartige Kohomologie die Topologie des Raums der Blatter beschreibt und insbesondere im Fall eines Faserbundels mit der De Rham Kohomologie des Basisraumes des Bundels ubereinstimmt Die Definition geht auf Reinhart zuruck 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und Beispiele 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei F displaystyle mathcal F nbsp eine q displaystyle q nbsp dimensionale Blatterung einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Mannigfaltigkeit Der Komplex der basisartigen Formen ist definiert als Unterkomplex des Komplexes der Differentialformen W M displaystyle Omega M nbsp durch W M F a W M i X a 0 i X d a 0 X T x F x M displaystyle Omega M mathcal F left alpha in Omega M i X alpha 0 i X d alpha 0 forall X in T x mathcal F x in M right nbsp Hierbei bezeichnet i X displaystyle i X nbsp das innere Produkt und d displaystyle d nbsp die aussere Ableitung Die aussere Ableitung d displaystyle d nbsp bildet W q M F displaystyle Omega q M mathcal F nbsp auf W q 1 M F displaystyle Omega q 1 M mathcal F nbsp ab Die basisartige Kohomologie H M F displaystyle H M mathcal F nbsp ist definiert als die Kohomologie des Komplexes W M F d displaystyle Omega M mathcal F d nbsp Eigenschaften und Beispiele BearbeitenWenn F displaystyle mathcal F nbsp die Blatterung durch die Fasern eines Faserbundels E B displaystyle E rightarrow B nbsp ist dann gilt H M F H B R displaystyle H M mathcal F H B mathbb R nbsp Es gilt H n q M F R displaystyle H n q M mathcal F simeq mathbb R nbsp genau dann wenn es auf M displaystyle M nbsp eine Riemannsche Metrik gibt fur die alle Blatter Minimalflachen sind 2 Poincare Dualitat halt fur die basisartige Kohomologie einer Blatterung nur dann wenn H n q M F R displaystyle H n q M mathcal F simeq mathbb R nbsp gilt was im Allgemeinen auch fur Riemannsche Blatterungen nicht notwendig der Fall ist Fur die schwache stabile oder die schwache instabile m 1 dimensionale Blatterung eines Anosov Flusses auf einer 2m 1 dimensionalen Mannigfaltigkeit gilt H m 1 M F 0 displaystyle H m 1 M mathcal F 0 nbsp Die basisartige Kohomologie ist invariant unter C 1 displaystyle C 1 nbsp Diffeomorphismen aber im Allgemeinen nicht unter Homoomorphismen Siehe auch BearbeitenBlatterungskohomologieLiteratur BearbeitenTondeur Philippe Foliations on Riemannian manifolds Universitext Springer Verlag New York 1988 ISBN 0 387 96707 9 Molino Pierre Riemannian foliations Translated from the French by Grant Cairns With appendices by Cairns Y Carriere E Ghys E Salem and V Sergiescu Progress in Mathematics 73 Birkhauser Boston Inc Boston MA 1988 ISBN 0 8176 3370 7Einzelnachweise Bearbeiten Reinhart Bruce L Harmonic integrals on foliated manifolds Amer J Math 81 1959 529 536 Masa Xose Duality and minimality in Riemannian foliations Comment Math Helv 67 1992 no 1 17 27 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Basisartige Kohomologie amp oldid 196511808