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Atkinson Maß Mit nach Anthony Atkinson 1944 2017 werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet mit denen bei

Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte Bearbeiten

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition Bearbeiten

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

wobei das individuelle Einkommen (i = 1, 2, …, N) und das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

  1. Symmetrie in den Argumenten: für alle Permutationen .
  2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. und für alle
  3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: gdw. für alle .
  4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich:
  5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: für alle
  6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen. Es gilt

, wobei die Anzahl der Untergruppen angibt, das Durchschnittseinkommen der Untergruppe , und die Gewichte für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung Bearbeiten

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“ mit ergebenden Theil-Index gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat. Das Maß errechnet sich aus der Funktion .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Originalaufsatz:

Zur Vertiefung:

  • Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
  • Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
  • Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613-625, doi:10.2307/1913126.
  2. „Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.
  3. Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: (Memento vom 25. März 2009 im Internet Archive; PDF; 330 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
Mit Atkinson Mass nach Anthony Atkinson 1944 2017 werden eine Menge von Ungleichverteilungsmassen bezeichnet mit denen beispielsweise die Einkommens oder Vermogensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Ursprung Geschichte 2 Definition 3 Eigenschaften 4 Anwendung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseUrsprung Geschichte BearbeitenDer von Hugh Dalton eingefuhrte Dalton Index D displaystyle D nbsp ist nicht invariant gegenuber positiven linearen Transformationen der personlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen Atkinson hat 1970 versucht den Index so neu zu definieren dass er die entsprechende Invarianz aufweist Definition BearbeitenJedem Atkinson Mass liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde Wie stark das Atkinson Mass auf Ungleichheiten reagiert wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt Ublicherweise wird eine Arrow Wohlfahrtsfunktion verwendet die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter e displaystyle varepsilon nbsp festlegt wie gross der Wohlfahrtsunterschied eines zusatzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist Je grosser Epsilon ist desto starker reagiert das Atkinson Mass auf Ungleichheit Ist e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp bedeutet dies dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist Dieser Atkinson Index ist wie folgt definiert A A e A e y 1 y n 1 fur e 0 1 1 m 1 n i 1 n y i 1 e 1 1 e fur e gt 0 e 1 1 1 m i 1 n y i 1 n fur e 1 displaystyle A A varepsilon A varepsilon y 1 ldots y n begin cases 1 amp mbox fur varepsilon 0 1 frac 1 mu left frac 1 n sum i 1 n y i 1 varepsilon right 1 1 varepsilon amp mbox fur varepsilon gt 0 land varepsilon neq 1 1 frac 1 mu left prod i 1 n y i right 1 n amp mbox fur varepsilon 1 end cases nbsp wobei y i displaystyle y i nbsp das individuelle Einkommen i 1 2 N und m displaystyle mu nbsp das Durchschnittseinkommen ist Eigenschaften BearbeitenDer Atkinson Index hat folgende Eigenschaften Symmetrie in den Argumenten A e y 1 y N A e y s 1 y s N displaystyle A varepsilon y 1 ldots y N A varepsilon y sigma 1 ldots y sigma N nbsp fur alle Permutationen s displaystyle sigma nbsp Der Index liegt zwischen Null und Eins 0 A 1 1 displaystyle 0 leq A 1 leq 1 nbsp und 0 A e 1 n ϵ lt 1 displaystyle 0 leq A varepsilon leq 1 n epsilon lt 1 nbsp fur alle e 1 displaystyle varepsilon neq 1 nbsp Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null A e y 1 y N 0 displaystyle A varepsilon y 1 ldots y N 0 nbsp gdw y i m displaystyle y i mu nbsp fur alle i displaystyle i nbsp Invarianz gegenuber Vervielfachung Wird die Population mehrfach identisch repliziert bleibt der Index gleich A e y 1 y N y 1 y N A e y 1 y N displaystyle A varepsilon y 1 ldots y N ldots y 1 ldots y N A varepsilon y 1 ldots y N nbsp Invarianz gegenuber Inflation Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert bleibt der Index gleich A e y 1 y N A e k y 1 k y N displaystyle A varepsilon y 1 ldots y N A varepsilon ky 1 ldots ky N nbsp fur alle k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp Der Index lasst sich in Untergruppen zerlegen 1 Es giltA e y g i g i g 1 n g g 1 G g 1 G w g A e y g 1 y g n g A e m 1 m G displaystyle A varepsilon y g i g i g 1 ldots n g g 1 ldots G sum g 1 G w g A varepsilon y g 1 ldots y g n g A varepsilon mu 1 ldots mu G nbsp wobei G displaystyle G nbsp die Anzahl der Untergruppen angibt m g displaystyle mu g nbsp das Durchschnittseinkommen der Untergruppe g displaystyle g nbsp und die Gewichte w g f m g m N N g displaystyle w g f mu g mu N N g nbsp fur eine von der konkreten Situation unabhangige Funktion f Anwendung BearbeitenFur den sich aus der verallgemeinerten Entropie Klasse 2 mit e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp ergebenden Theil Index I 1 displaystyle I 1 nbsp gilt dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemass 3 umgewandelt werden kann das in der Literatur auch als normalisierter Theil Index auftrat 4 Das Mass errechnet sich aus der Funktion 1 e T displaystyle 1 e T nbsp Siehe auch BearbeitenChampernowne IndexLiteratur BearbeitenOriginalaufsatz Anthony B Atkinson On the Measurement of Inequality In Journal of Economic Theory Bd 2 3 1970 S 244 263 Zur Vertiefung Yoram Amiel Thinking about inequality Cambridge 1999 Frank Alan Cowell Measurement of Inequality In Anthony B Atkinson Francois Bourguignon Hg Handbook of Income Distribution Bd 1 Amsterdam et al 2000 S 87 166 Amartya Sen James Eric Foster On Economic Inequality Oxford University Press Oxford 1996 ISBN 0 19 828193 5 Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson Indexes Weblinks BearbeitenPramod Kumar Chaubey eGyanKosh IGNOU Indira Gandhi National Open University Unit 11 Measures of Inequality Memento vom 31 Januar 2012 im Internet Archive PDF 3 34 MB Einzelnachweise Bearbeiten Shorrocks AF 1980 The class of additively decomposable inequality indices Econometrica 48 3 613 625 doi 10 2307 1913126 Generalized Entropy Class Janes E Foster im Annex A 4 1 S 142 von Amartya Sen On Economic Inequality 1973 1997 Anthony B Atkinson entwickelte verschiedene Masse Das mit dem Theil Index verwandte Mass findet sich bei Lionnel Maugis in Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En Route Capacities Veroffentlichung fur IFORS 96 1996 Juana Dominguez Dominguez Jose Javier Nunez Velazquez The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties Memento vom 25 Marz 2009 im Internet Archive PDF 330 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Atkinson Mass amp oldid 212349680