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Theil-Index

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Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.

Definition Bearbeiten

Für Personen mit Einkommen ist das Durchschnittseinkommen und es werden Theil-Indizes unter der Konvention wie folgt definiert:

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

Beziehungen/Ableitungen Bearbeiten

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist das Shannons-Maß, so gilt

ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß .

Zerlegbarkeit Bearbeiten

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in Untergruppen aufgeteilt werden kann und der Einkommensanteil einer Untergruppe am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt die Ungleichverteilung in der Untergruppe und ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe . Der Theil-Index ist dann

So beschrieben, ist der Theil-Index dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Literatur Bearbeiten

  • Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR:1911889)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Paul D. Allison: Measures of Inequality. In: American Sociological Review. Band 63, Nr. 6, Dezember 1978, S. 877.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer grundsatzlichen Uberarbeitung Naheres sollte auf der Diskussionsseite angegeben sein Bitte hilf mit ihn zu verbessern und entferne anschliessend diese Markierung Der Theil Index gehort zu der Klasse der Ungleichverteilungsmasse und wurde von dem Okonometriker Henri Theil entwickelt Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens und Vermogensverteilungen Der Theil Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini Koeffizient einem populareren Ungleichheitsmass 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beziehungen Ableitungen 3 Zerlegbarkeit 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur n displaystyle n nbsp Personen mit Einkommen y 1 y n displaystyle y 1 dots y n nbsp ist das Durchschnittseinkommen m 1 n i 1 n y i displaystyle mu frac 1 n sum i 1 n y i nbsp und es werden Theil Indizes T L T T T S displaystyle T L T T T S nbsp unter der Konvention 0 ln 0 0 displaystyle 0 cdot ln 0 0 nbsp wie folgt definiert T T T a 1 1 n i 1 n y i m ln y i m displaystyle T T T alpha 1 frac 1 n sum i 1 n left frac y i mu cdot ln frac y i mu right nbsp T L T a 0 M L D 1 n i 1 n ln m y i displaystyle T L T alpha 0 MLD frac 1 n sum i 1 n left ln frac mu y i right nbsp T S 1 n i 1 n 1 2 y i m 1 ln y i displaystyle T S frac 1 n sum i 1 n left frac 1 2 left frac y i mu 1 right ln y i right nbsp MLD steht hierbei fur mean log deviation Es gelten dabei die Beziehungen T L y T T 1 y displaystyle T L y T T left frac 1 y right nbsp T S T T T L 2 displaystyle T S frac T T T L 2 nbsp 0 T L displaystyle 0 leq T L nbsp T L 0 T T 0 T S 0 y i m fur alle i displaystyle T L 0 quad Leftrightarrow quad T T 0 quad Leftrightarrow quad T S 0 quad Leftrightarrow quad y i mu quad text fur alle i nbsp T T ln n y i n m fur ein i displaystyle T T ln n quad Leftrightarrow quad y i n mu quad text fur ein i nbsp T S y T S 1 y displaystyle T S y T S left frac 1 y right nbsp Beziehungen Ableitungen BearbeitenClaude Shannon entwickelte sein Entropie Mass aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses Theil leitete seinen Index daraus ab Der Theil Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden mit der ein von einer Bevolkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen Ist S displaystyle S nbsp das Shannons Mass so gilt T ln N S displaystyle T ln N S nbsp e T displaystyle e T nbsp ist ein Gleichverteilungsmass mit dazugehorigem Ungleichverteilungsmass 1 e T displaystyle left 1 e T right nbsp Zerlegbarkeit BearbeitenDer Theil Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Landern berechnet werden Wenn die Bevolkerung in m displaystyle m nbsp Untergruppen aufgeteilt werden kann und s k displaystyle s k nbsp der Einkommensanteil einer Untergruppe k displaystyle k nbsp am Gesamteinkommen ist dann beschreibt T k displaystyle T k nbsp die Ungleichverteilung in der Untergruppe und x k displaystyle overline x k nbsp ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe k displaystyle k nbsp Der Theil Index T k displaystyle T k nbsp ist dann T k 1 m s k T k k 1 m s k ln x k x displaystyle T sum k 1 m s k T k sum k 1 m s k ln frac overline x k overline x nbsp So beschrieben ist der Theil Index T k displaystyle T k nbsp dann der Beitrag der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe Literatur BearbeitenHenri Theil The Information Approach to Demand Analysis In Econometrica Vol 33 Nr 1 Januar 1965 ISSN 0012 9682 S 67 87 JSTOR 1911889 Weblinks BearbeitenPedro Conceicao Pedro Ferreira The Young Person s Guide to the Theil Index Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications PDF 1 4 MB UTIP Working Paper Number 14 Februar 2000 University of Texas Inequality Project Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index englisch Einzelnachweise Bearbeiten Paul D Allison Measures of Inequality In American Sociological Review Band 63 Nr 6 Dezember 1978 S 877 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Theil Index amp oldid 235737341