Der Satz von Birkhoff Kellogg englisch Birkhoff Kellogg Theorem ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis der auf eine im Jahre 1922 von den beiden Mathematikern George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zuruckgeht Er behandelt die Frage unter welchen Bedingungen fur gewisse Operatoren auf unendlich dimensionalen Banachraumen das Eigenwertproblem losbar ist Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen Satzes von Poincare Brouwer in der Topologie 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Hintergrund 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich zusammengefasst darstellen wie folgt 3 4 Gegeben seien ein unendlich dimensionaler Banachraum X displaystyle X nbsp und darin eine beschrankte offene Teilmenge G X displaystyle G subset X nbsp welche den Nullpunkt 0 X displaystyle 0 in X nbsp enthalte Auf der abgeschlossenen Hulle G displaystyle overline G nbsp von G displaystyle G nbsp sei ein kompakter linearer oder nichtlinearer Operator K G X displaystyle mathrm K colon overline G to X nbsp gegeben der die Bedingunginf x G K x gt 0 displaystyle inf x in partial G mathrm K x gt 0 nbsp 5 dd erfulle Dann gilt Das Eigenwertproblem ist fur K displaystyle mathrm K nbsp losbar Dabei gibt es einen Randpunkt x 0 G displaystyle x 0 in partial G nbsp und dazu eine reelle Zahl l R 0 displaystyle lambda in mathbb R setminus 0 nbsp welche die Gleichung K x 0 l x 0 displaystyle mathrm K x 0 lambda x 0 nbsp erfullen Hintergrund BearbeitenDer Beweis des Birkhoff Kellogg schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen Eigenwertprinzip zu dessen Herleitung der Leray Schauder sche Abbildungsgrad genutzt wird sowie dem folgenden Approximationssatz fur kompakte Operatoren englisch Approximation Theorem for Compact Operators 6 7 Gegeben seien zwei Banachraume X Y displaystyle X Y nbsp uber K displaystyle mathbb K nbsp mit K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp sowie eine beschrankte nichtleere Teilmenge M X displaystyle M subset X nbsp und hierauf ein beliebiger Operator PS M Y displaystyle Psi colon M to Y nbsp Dann gilt PS displaystyle Psi nbsp ist ein kompakter Operator genau dann wenn es eine Folge PS n M Y n 1 2 3 displaystyle Psi n colon M to Y n 1 2 3 ldots nbsp von Operatoren gibt derart dass fur n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 ldots nbsp stets folgende drei Bedingungen erfullt sind i PS n displaystyle Psi n nbsp ist kompakt ii sup x M PS x PS n x Y 1 n displaystyle sup x in M Psi x Psi n x Y leq frac 1 n nbsp iii Der von der Bildmenge PS n M displaystyle Psi n M nbsp uber K displaystyle mathbb K nbsp aufgespannte lineare Unterraum span PS n M displaystyle operatorname span left Psi n M right nbsp hat endliche Dimension dd Literatur BearbeitenG D Birkhoff O D Kellogg Invariant points in function space In Transactions of the American Mathematical Society Band 23 1922 S 96 115 MR1501192 Eberhard Zeidler Vorlesungen uber nichtlineare Funktionalanalysis I Fixpunktsatze B G Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1976 MR0473927 Eberhard Zeidler Nonlinear Functional Analysis and its Applications I Fixed Point Theorems Translated by Peter R Wadsack Springer Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo 1986 ISBN 0 387 90914 1 MR0816732 Einzelnachweise Bearbeiten Eberhard Zeidler Vorlesungen uber nichtlineare Funktionalanalysis I 1976 S 12 S 152 153 Eberhard Zeidler Nonlinear Functional Analysis and its Applications I 1986 S 557 ff Zeidler 1976 S 153 Zeidler 1986 S 559 G displaystyle partial G nbsp ist die Menge der Randpunkte von G displaystyle G nbsp Zeidler 1976 S 25 S 152 153 Zeidler 1986 S 55 S 558 559 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Birkhoff Kellogg amp oldid 232899347 Hintergrund
