In der Magnetohydrodynamik besagt das alfvensche Theorem englisch auch Alfven s frozen in theorem dass in einem Plasma mit unendlicher elektrischer Leitfahigkeit das heisst ohne elektrischen Widerstand die Magnetfeldlinien im Fluid gefroren befestigt sind und sich mit diesem bewegen mussen Diese Idee hat Hannes Alfven 1942 veroffentlicht 1 2 Dieses Theorem findet viele Anwendungen beispielsweise in der Astrophysik wo der elektrische Widerstand zwar nicht genau Null ist aber oft sehr gering ist sodass die Magnetfeldlinien naherungsweise im Fluid gefroren sind Mathematische Formulierung BearbeitenDer magnetische Fluss durch eine Oberflache S displaystyle S nbsp ist durch F B S B d S displaystyle Phi B int S vec B cdot d vec S nbsp definiert wobei B displaystyle vec B nbsp das Magnetfeld ist Das alfvensche Theorem lautet d F B d t 0 displaystyle frac d Phi B dt 0 nbsp Im Folgenden wird der Beweisansatz von 3 hergeleitet Wir betrachten zwei sehr nah beieinander liegende Zeitpunkte t displaystyle t nbsp und t d t displaystyle t delta t nbsp Eine Flache S displaystyle S nbsp mit Rand C displaystyle C nbsp zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp wird durch die Fluidbewegung zu einer Flache S displaystyle S nbsp mit Rand C displaystyle C nbsp zum Zeitpunkt t d t displaystyle t delta t nbsp und beschreibt damit ein Volumen V displaystyle V nbsp indem es ein Band S displaystyle S nbsp formt siehe Abbild 1 nbsp Abbild 1 Die Flache S displaystyle S nbsp mit dem Rand C displaystyle C nbsp zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp wird zur Flache S displaystyle S nbsp mit dem Rand C displaystyle C nbsp zum Zeitpunkt t d t displaystyle t delta t nbsp Die Bewegung des Randes formt ein Band S displaystyle S nbsp Die Anderung des magnetischen Flusses zwischen t displaystyle t nbsp und t d t displaystyle t delta t nbsp betragt d F B F B t d t F B t S B t d t d S S B t d S displaystyle delta Phi B Phi B t delta t Phi B t int S vec B t delta t cdot d vec S int S vec B t cdot d vec S nbsp Laut den Maxwell Gleichungen ist B 0 displaystyle nabla cdot vec B 0 nbsp sodass sich zum Zeitpunkt t d t displaystyle t delta t nbsp aus dem gaussschen Integralsatzes S B t d t d S S B t d t d S S B t d t d S V B d V 0 displaystyle iint S vec B t delta t cdot d vec S iint S vec B t delta t cdot d vec S iint S vec B t delta t cdot d vec S iiint V nabla cdot vec B dV 0 nbsp ergibt Das Vorzeichen des Integrals uber S displaystyle S nbsp ist negativ da die Richtung des infinitesimalen Flachenelements in die Richtung des Volumens zeigt Daraus folgt F B t d t S B t d t d S S B t d t d S displaystyle Phi B t delta t iint S vec B t delta t cdot d vec S iint S vec B t delta t cdot d vec S nbsp d F B S B t d t B t d S S B t d t d S displaystyle delta Phi B iint S Big vec B t delta t vec B t Big cdot d vec S iint S vec B t delta t cdot d vec S nbsp Man kann das Integral uber der Flache S displaystyle S nbsp ermitteln da fur das infinitesimale Flachenelement d S d l v d t displaystyle d vec S d vec l times vec v delta t nbsp gilt d F B S B t d t B t d S d t C B t d t d l v displaystyle delta Phi B iint S Big vec B t delta t vec B t Big cdot d vec S delta t oint C vec B t delta t cdot d vec l times vec v nbsp Nach Division durch d t displaystyle delta t nbsp bekommt man d F B d t S B t d t B t d t d S C B t d t d l v displaystyle frac delta Phi B delta t iint S Big frac vec B t delta t vec B t delta t Big cdot d vec S oint C vec B t delta t cdot d vec l times vec v nbsp Im Grenzfall d t 0 displaystyle delta t to 0 nbsp wird dies d F B d t S B t d S C B d l v displaystyle frac d Phi B dt int S frac partial vec B partial t cdot d vec S oint C vec B cdot d vec l times vec v nbsp Sodass beim Anwenden der Eigenschaften des Spatproduktes d F B d t S B t d S C B v d l displaystyle frac d Phi B dt int S frac partial vec B partial t cdot d vec S oint C vec B times vec v cdot d vec l nbsp Der Satz von Stokes fuhrt zu d F B d t S B t d S S B v d S displaystyle frac d Phi B dt iint S frac partial vec B partial t cdot d vec S iint S nabla times vec B times vec v cdot d vec S nbsp welches im Fall von einem elektrischen Widerstand h 0 displaystyle eta 0 nbsp Null gleicht da in diesem Fall B t v B B v displaystyle frac partial vec B partial t nabla times vec v times vec B nabla times vec B times vec v nbsp Einzelnachweise Bearbeiten H Alfven Existence of Electromagnetic Hydrodynamic Waves In Nature Band 150 Nr 3805 Oktober 1942 ISSN 0028 0836 S 405 406 doi 10 1038 150405d0 nature com abgerufen am 17 Dezember 2020 H Alfven On the Existence of Electromagnetic Hydrodynamic Waves In Arkiv for matematik astronomi och fysik 29B 1942 S 1 7 Induction Equation Frozen in Theorem Abgerufen am 24 Dezember 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Alfvensches Theorem amp oldid 207093864
