Abzählbar normierter Raum Ein abzählbar normierter Raum englisch countably normed space ist in der Funktionalanalysis ei

Abzählbar normierter Raum

Ein abzählbar normierter Raum (englisch countably normed space) ist in der Funktionalanalysis ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie durch eine abzählbare Menge von kompatiblen Normen erzeugt wird, das heißt, sie besitzen dieselben Cauchy-Folgen. Der Begriff wurde von Israel Moissejewitsch Gelfand und Georgi Jewgenjewitsch Schilow eingeführt.

Abzählbar normierter Raum Bearbeiten

Seien und zwei Normen auf einem linearen Raum . Man nennt und kompatibel oder konsistent, falls eine Cauchy-Folge , welche in einer der beiden Normen gegen konvergiert, auch in der anderen Norm gegen konvergiert.

Ein lokalkonvexer Raum heißt abzählbar normierter Raum, falls die Topologie durch eine abzählbare Menge kompatibler Normen erzeugt wurde.

Eigenschaften Bearbeiten

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Normen von der Form für sind, ansonsten definiert man die Normen , welche die gleiche Topologie erzeugen.

Sei der Banachraum, der durch die Vervollständig bezüglich der -Norm entstanden ist. Dann existiert eine Inklusion

und ist ein Fréchet-Raum und der projektive Limes

ist metrisierbar und eine Metrik ist durch

gegeben. Eine Folge in ist dann und nur dann eine Cauchy-Folge bezüglich dieser Metrik, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich jeder Norm ist.

Beispiele Bearbeiten

Sei der Raum der glatten Funktionen auf , dann wird der Raum durch die Normen

zu einem abzählbar normierten Raum.

Literatur Bearbeiten

Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.

Einzelnachweise Bearbeiten

Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.
V.A. Sadovnichii: Theory of operators. Hrsg.: Springer. Niederlande, US 1991, S. 85.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 13:05 pm

Ein abzahlbar normierter Raum englisch countably normed space ist in der Funktionalanalysis ein lokalkonvexer Raum dessen Topologie durch eine abzahlbare Menge von kompatiblen Normen erzeugt wird das heisst sie besitzen dieselben Cauchy Folgen Der Begriff wurde von Israel Moissejewitsch Gelfand und Georgi Jewgenjewitsch Schilow eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Abzahlbar normierter Raum 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAbzahlbar normierter Raum BearbeitenSeien 1 displaystyle cdot 1 nbsp und 2 displaystyle cdot 2 nbsp zwei Normen auf einem linearen Raum V displaystyle V nbsp Man nennt 1 displaystyle cdot 1 nbsp und 2 displaystyle cdot 2 nbsp kompatibel oder konsistent falls eine Cauchy Folge x n n N V displaystyle x n n in mathbb N in V nbsp welche in einer der beiden Normen gegen x V displaystyle x in V nbsp konvergiert auch in der anderen Norm gegen x displaystyle x nbsp konvergiert Ein lokalkonvexer Raum X displaystyle X nbsp heisst abzahlbar normierter Raum falls die Topologie durch eine abzahlbare Menge kompatibler Normen n n N displaystyle cdot n n in mathbb N nbsp erzeugt wurde 2 Eigenschaften BearbeitenMan kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen dass die Normen von der Form p q displaystyle cdot p leq cdot q nbsp fur q gt p displaystyle q gt p nbsp sind ansonsten definiert man die Normen 1 k max 1 2 k displaystyle cdot 1 k max cdot 1 cdot 2 dots cdot k nbsp welche die gleiche Topologie erzeugen Sei X n displaystyle X n nbsp der Banachraum der durch die Vervollstandig bezuglich der n displaystyle cdot n nbsp Norm entstanden ist Dann existiert eine Inklusion X 1 X 2 X n displaystyle X 1 supset X 2 supset cdots supset X n supset cdots nbsp und X displaystyle X nbsp ist ein Frechet Raum und der projektive Limes X n N X n displaystyle X bigcap n in mathbb N X n nbsp X displaystyle X nbsp ist metrisierbar und eine Metrik ist durch d x y n 1 1 2 n x y n 1 x y n displaystyle d x y sum limits n 1 infty frac 1 2 n frac x y n 1 x y n nbsp dd gegeben Eine Folge in X displaystyle X nbsp ist dann und nur dann eine Cauchy Folge bezuglich dieser Metrik wenn sie eine Cauchy Folge bezuglich jeder Norm ist Beispiele BearbeitenSei X C a b displaystyle X C infty a b nbsp der Raum der glatten Funktionen auf a b displaystyle a b nbsp dann wird der Raum durch die Normen f n sup a t b 0 k n f k t displaystyle f n sup limits begin array c a leq t leq b 0 leq k leq n end array f k t nbsp dd zu einem abzahlbar normierten Raum Literatur BearbeitenGelʹfand Izrailʹ Moiseevich Shilov G E Spaces of Fundamental and Generalized Functions In American Mathematical Society Hrsg Generalized Functions Band 2 Vereinigte Staaten 2016 Einzelnachweise Bearbeiten Gelʹfand Izrailʹ Moiseevich Shilov G E Spaces of Fundamental and Generalized Functions In American Mathematical Society Hrsg Generalized Functions Band 2 Vereinigte Staaten 2016 V A Sadovnichii Theory of operators Hrsg Springer Niederlande US 1991 S 85 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abzahlbar normierter Raum amp oldid 236994665