Das Absorptionsgesetz der Aussagenlogik besagt dass eine Aussage absorbiert wird d h dass ihre Belegung fur die Auswertung der Gesamtformel irrelevant ist wenn sie hintereinander konjunktiv und disjunktiv mit einer anderen Aussage verknupft wird wobei die Reihenfolge der Verknupfungen keine Rolle spielt 1 Die Wahrheitswertentwicklung von Aussageformen die die Aussagen a und b direkt aufeinanderfolgend konjunktiv und disjunktiv oder disjunktiv und konjunktiv verknupfen entspricht also dem Wahrheitswert von a a a b a displaystyle a lor a land b a und a a b a displaystyle a land a lor b a In Worten Die Konjunktion a b displaystyle a land b kann nur wahr sein wenn a wahr ist Dann ist aber auch jede Disjunktion mit a wahr unabhangig von b Umgekehrt kann die Disjunktion nur dann falsch sein wenn a falsch ist Somit ist dann auch die Konjunktion a b displaystyle a land b falsch und damit der gesamte Ausdruck unabhangig von b Analog bei vertauschten Junktoren Der Beweis erfolgt uber Wahrheitstafeln a displaystyle a b displaystyle b a b displaystyle a land b a b displaystyle a lor b a a b a displaystyle a lor a land b a a a b a displaystyle a land a lor b a 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 01 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1Anschaulich ist auch die mengentheoretische Formulierung 2 A A B A displaystyle A cup left A cap B right A und A A B A displaystyle A cap left A cup B right A Die Menge A vereinigt mit ihrem Schnitt mit B ist die Menge A Analog ist die Schnittmenge der Menge A mit ihrer Vereinigung mit B wieder die Menge A Pradikatenlogik BearbeitenDa das Absorptionsgesetz keine Quantoren enthalt entsprechen sich die aussagen und pradikatenlogischen Formulierungen Russell und Whitehead formulierten es in ihren Principia mathematica wie folgt P Q P P Q displaystyle P to Q leftrightarrow P to P land Q nbsp wobei P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp Pradikate eines formalen Systems sind Das Absorptionsgesetz kann dann als Sequenz also Beweis des Sequenzenkalkuls formuliert werden P Q P P Q displaystyle P to Q vdash P to P land Q nbsp bzw in alternativer Notation G f ps f f ps displaystyle frac Gamma varphi to psi varphi to varphi land psi nbsp 1 G f ps Pramisse 2 G f ps Umformung 3 G f f Satz vom ausgeschlossenen Dritten 4 G f f f ps Konjunktion 2 und 3 5 G f f ps Distributivgesetz 6 G f f ps Umformung displaystyle begin alignedat 3 1 amp quad amp Gamma varphi rightarrow psi amp quad amp text Pramisse 2 amp quad amp Gamma neg varphi lor psi amp quad amp text Umformung 3 amp quad amp Gamma neg varphi lor varphi amp quad amp text Satz vom ausgeschlossenen Dritten 4 amp quad amp Gamma neg varphi lor varphi land neg varphi lor psi amp quad amp text Konjunktion 2 und 3 5 amp quad amp Gamma neg varphi lor varphi land psi amp quad amp text Distributivgesetz 6 amp quad amp Gamma varphi rightarrow varphi land psi amp quad amp text Umformung end alignedat nbsp Weblinks BearbeitenT5 3 Gatter Implementierung des Absorptionsgesetzes Ubungsblatt zur Aussagenlogik PDF 176 kB Einzelnachweise Bearbeiten Wichtige Aquivalenzen Satz 4 7 PDF Ubersicht bei formel sammlung de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Absorption Logik amp oldid 230347517
