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72er Regel Die ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an also die

72er-Regel

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Formel Bearbeiten

Die Zeit (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz (pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:

Dabei bezeichnet den Zinsfuß.

Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinsfuß benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit zu verdoppeln:

Beispiele Bearbeiten

In welcher Zeit wird sich ein Betrag, der zu einem Zinsfuß von (8 Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln?

Welchen Zinsfuß (pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum zu verdoppeln?

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeitspanne, in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt, bei einer stündlichen Wachstumsrate von ungefähr Stunden.

Herleitung Bearbeiten

Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital bei einem Zinssatz von nach einer Laufzeit von Jahren bei jährlicher Verzinsung

Setzt man nun , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

Nachdem für betragsmäßig kleine gegen konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ergibt sich als Näherungsformel

Nähert man nun durch oder , so spricht man von der 69er-Regel oder der 70er-Regel. Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch bewährt, unter anderem weil die Zahl viele kleine Teiler aufweist . Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

die durch numerische Approximation gefunden wurde. Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Genauigkeit Bearbeiten

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Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten.

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

Zinssatz Verdopplungs-
zeit 		72er-Regel 70er-Regel 69er-Regel Näherung
69/p + 0,35 		Näherung
69/p + 0,32
0,25 % 277,605 288,000 280,000 276,000 276,350 276,320
0,5 % 138,976 144,000 140,000 138,000 138,350 138,320
1 % 69,661 72,000 70,000 69,000 69,350 69,320
2 % 35,003 36,000 35,000 34,500 34,850 34,820
3 % 23,450 24,000 23,333 23,000 23,350 23,320
4 % 17,673 18,000 17,500 17,250 17,600 17,570
5 % 14,207 14,400 14,000 13,800 14,150 14,120
6 % 11,896 12,000 11,667 11,500 11,850 11,820
7 % 10,245 10,286 10,000 9,857 10,207 10,177
8 % 9,006 9,000 8,750 8,625 8,975 8,945
9 % 8,043 8,000 7,778 7,667 8,017 7,987
10 % 7,273 7,200 7,000 6,900 7,250 7,220
11 % 6,642 6,545 6,364 6,273 6,623 6,593
12 % 6,116 6,000 5,833 5,750 6,100 6,070
15 % 4,959 4,800 4,667 4,600 4,950 4,920
18 % 4,188 4,000 3,889 3,833 4,183 4,153
20 % 3,802 3,600 3,500 3,450 3,800 3,770
25 % 3,106 2,880 2,800 2,760 3,110 3,080
30 % 2,642 2,400 2,333 2,300 2,650 2,620
40 % 2,060 1,800 1,750 1,725 2,075 2,045
50 % 1,710 1,440 1,400 1,380 1,730 1,700

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • John J. Spitzer, Sandeep Singh: The rule of 72?. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89.
  2. M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361.
  3. R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360.
  4. J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. Band 39, 1974, S. 397–398.
  5. Richard P. Brief: A note on “rediscovery” and the rule of 69. In: The Accounting Review. Band 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.
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Die 72er Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung Die Regel gibt naherungsweise die Verdopplungszeit an also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt durch den Effekt des Zinseszins Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuss des angelegten Betrages daher der Name der Regel Varianten der 72er Regel sind die 70er Regel und die 69er Regel Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage gestrichelte Linien und Naherungen mit der 72er Regel kurze Striche mit Zahlen fur verschiedene Zinssatze Inhaltsverzeichnis 1 Formel 2 Beispiele 3 Herleitung 4 Genauigkeit 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseFormel BearbeitenDie Zeit t displaystyle t nbsp in Jahren in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz i displaystyle i nbsp pro Jahr verdoppelt ist nach der 72er Regel t 72 100 i 72 p Jahre displaystyle t approx frac 72 100 cdot i frac 72 p text Jahre nbsp Dabei bezeichnet p displaystyle p nbsp den Zinsfuss Man kann dieselbe Formel benutzen um abzuschatzen welcher Zinsfuss p displaystyle p nbsp benotigt wird um ein Kapital in vorgegebener Zeit t displaystyle t nbsp zu verdoppeln p 72 Jahre t displaystyle p approx frac 72 text Jahre t nbsp Beispiele BearbeitenIn welcher Zeit t displaystyle t nbsp wird sich ein Betrag der zu einem Zinsfuss von p 8 displaystyle p 8 nbsp 8 Prozent pro Jahr angelegt ist verdoppeln t 72 p Jahre 72 8 Jahre 9 Jahre displaystyle t frac 72 p text Jahre frac 72 8 text Jahre 9 text Jahre nbsp Welchen Zinsfuss p displaystyle p nbsp pro Jahr benotigt man um ein Kapital im Zeitraum t 12 Jahre displaystyle t 12 text Jahre nbsp zu verdoppeln p 72 Jahre t 72 Jahre 12 Jahre 6 displaystyle p frac 72 text Jahre t frac 72 text Jahre 12 text Jahre 6 nbsp Die 72er Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden Beispielsweise betragt die Generationszeit also die Zeitspanne in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt bei einer stundlichen Wachstumsrate von 4 displaystyle 4 nbsp ungefahr 72 4 18 displaystyle tfrac 72 4 18 nbsp Stunden Herleitung BearbeitenNach der Zinseszinsformel ist das Endkapital K t displaystyle K t nbsp einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital K 0 displaystyle K 0 nbsp bei einem Zinssatz von i displaystyle i nbsp nach einer Laufzeit von t displaystyle t nbsp Jahren bei jahrlicher Verzinsung K t K 0 1 i t K 0 1 p 100 t displaystyle K t K 0 left 1 i right t K 0 left 1 frac p 100 right t nbsp Setzt man nun K t 2 K 0 displaystyle K t 2K 0 nbsp wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und lost nach t displaystyle t nbsp auf ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als t ln 2 ln 1 p 100 displaystyle t frac ln 2 ln left 1 frac p 100 right nbsp Nachdem ln 1 x displaystyle ln 1 x nbsp fur betragsmassig kleine x displaystyle x nbsp gegen x displaystyle x nbsp konvergiert siehe Taylor Reihe und mit ln 2 0 693 1 displaystyle ln 2 approx 0 6931 nbsp ergibt sich als Naherungsformel t 0 693 1 p 100 69 31 p displaystyle t approx frac 0 6931 frac p 100 frac 69 31 p nbsp Nahert man nun ln 2 displaystyle ln 2 nbsp durch 0 69 displaystyle 0 69 nbsp oder 0 70 displaystyle 0 70 nbsp so spricht man von der 69er Regel 1 oder der 70er Regel 2 Als Faustwert hat sich aber die Naherung durch 0 72 displaystyle 0 72 nbsp bewahrt unter anderem weil die Zahl 72 displaystyle 72 nbsp viele kleine Teiler aufweist 72 2 3 3 2 displaystyle 72 2 3 cdot 3 2 nbsp 3 Fur die 69er Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form t 69 p 0 35 displaystyle t approx frac 69 p 0 35 nbsp die durch numerische Approximation gefunden wurde 4 5 Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich 0 lt p lt 35 displaystyle 0 lt p lt 35 nbsp mit maximal 0 5 prozentiger Abweichung genahert werden Wird 0 32 als Wert des Absolutglieds verwendet betragen die Abweichungen im Bereich 0 lt p lt 100 displaystyle 0 lt p lt 100 nbsp maximal ein Prozent gegenuber den exakten Verdopplungszeiten Genauigkeit BearbeitenDie Darstellung von Grafiken ist aktuell auf Grund eines Sicherheitsproblems deaktiviert Relative Genauigkeiten der 72er Regel sowie ihrer Varianten Die folgende Tabelle vergleicht die Abschatzungen gemass der 72er der 70er der 69er Regel und weiteren oben aufgefuhrten Naherungen mit den tatsachlichen Werten fur typische Zinssatze Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand Zinssatz i displaystyle i nbsp Verdopplungs zeit t displaystyle t nbsp 72er Regel 70er Regel 69er Regel Naherung69 p 0 35 Naherung69 p 0 320 25 277 605 288 000 280 000 276 000 276 350 276 3200 5 138 976 144 000 140 000 138 000 138 350 138 3201 69 661 72 000 70 000 69 000 69 350 69 3202 35 003 36 000 35 000 34 500 34 850 34 8203 23 450 24 000 23 333 23 000 23 350 23 3204 17 673 18 000 17 500 17 250 17 600 17 5705 14 207 14 400 14 000 13 800 14 150 14 1206 11 896 12 000 11 667 11 500 11 850 11 8207 10 245 10 286 10 000 9 857 10 207 10 1778 9 006 9 000 8 750 8 625 8 975 8 9459 8 043 8 000 7 778 7 667 8 017 7 98710 7 273 7 200 7 000 6 900 7 250 7 22011 6 642 6 545 6 364 6 273 6 623 6 59312 6 116 6 000 5 833 5 750 6 100 6 07015 4 959 4 800 4 667 4 600 4 950 4 92018 4 188 4 000 3 889 3 833 4 183 4 15320 3 802 3 600 3 500 3 450 3 800 3 77025 3 106 2 880 2 800 2 760 3 110 3 08030 2 642 2 400 2 333 2 300 2 650 2 62040 2 060 1 800 1 750 1 725 2 075 2 04550 1 710 1 440 1 400 1 380 1 730 1 700Siehe auch BearbeitenZeitwert des GeldesLiteratur BearbeitenJohn J Spitzer Sandeep Singh The rule of 72 Financial Counseling and Planning 10 1 1999 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Rule of 72 In MathWorld englisch Rule of 72 Online Rechner von moneychimp com englisch Einzelnachweise Bearbeiten Pamela Peterson Drake Frank J Fabozzi Foundations and Applications of the Time Value of Money John Wiley amp Sons 2009 S 89 M C Lovell Economics With Calculus World Scientific 2004 S 361 R L Finney G B Thomas Calculus Addison Wesley 1990 S 360 J P Gould R L Weil The Rule of 69 In Journal of Business Band 39 1974 S 397 398 Richard P Brief A note on rediscovery and the rule of 69 In The Accounting Review Band 52 Nr 4 1977 S 810 812 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title 72er Regel amp oldid 213961686