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Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation Die küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation nach Karl Küpfmüller der sie 1924 form

Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation

Die küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation (nach Karl Küpfmüller, der sie 1924 formulierte) oder Unschärferelation der Nachrichtentechnik ist die Aussage der Signaltheorie (Nachrichtentechnik), dass die Zeitdauer oder Einschwingdauer und die Bandbreite eines Signals nicht gleichzeitig beliebig klein werden können. Sie liefert eine auf die Verhältnisse nachrichtentechnischer Systeme angepasste und zur Heisenbergschen Unschärferelation analoge Aussage. Hierbei handelt es sich, wie bei allen Unschärferelationen, um eine direkte Anwendung des Satzes von Plancherel.

Für die Zeitdauer Δt und die Bandbreite Δf eines Signals gilt stets:

wobei k je nach Definition von Bandbreite und Zeitdauer den Wert 1 oder 0,5 annimmt.

Auf der Unbestimmtheitsrelation bezüglich Zeitdauer und Bandbreite basieren zum Beispiel bekannte Grundregeln der Messtechnik:

  • Um ein Signal von 100 ns Dauer zu messen, benötigt man ein Oszilloskop mit mehr als 10 MHz Bandbreite.
  • Um eine Frequenz von 1 Hz zu bestimmen, muss das Signal mindestens 1 s lang gemessen werden.

Zeit-Bandbreite-Produkt Bearbeiten

Da die Definition einer bestimmten Bandbreite verschiedenen Festlegungen folgt, und auch die Zeitdauer von Signalen nicht eindeutig ist, gibt es mehrere unterschiedliche Festlegungen von Zeit-Bandbreiten-Produkten. Beispielsweise wird bei zeitlich nicht begrenzten Signalen das Produkt über flächengleiche Rechtecke um den Maximalwert des Signals im Ursprung ausgedrückt:

mit , der Fouriertransformierten von . Die Bandbreite wird dazu analog festgelegt zu:

Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist bei dieser Festlegung der Zeitdauer und Bandbreite konstant mit dem Wert:

Literatur Bearbeiten

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
  • Rüdiger Hoffmann: Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker, 2. Auflage, Expert Verlag, Renningen 2005, ISBN 3-8169-2447-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. (PDF; 652 kB) Technische Universität Hamburg-Harburg, 2007, archiviert vom Original am 12. Juli 2007; abgerufen am 12. Juli 2007.
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Veröffentlichungsdatum:
Die kupfmullersche Unbestimmtheitsrelation nach Karl Kupfmuller der sie 1924 formulierte oder Unscharferelation der Nachrichtentechnik ist die Aussage der Signaltheorie Nachrichtentechnik dass die Zeitdauer oder Einschwingdauer und die Bandbreite eines Signals nicht gleichzeitig beliebig klein werden konnen 1 Sie liefert eine auf die Verhaltnisse nachrichtentechnischer Systeme angepasste und zur Heisenbergschen Unscharferelation analoge Aussage Hierbei handelt es sich wie bei allen Unscharferelationen um eine direkte Anwendung des Satzes von Plancherel Fur die Zeitdauer Dt und die Bandbreite Df eines Signals gilt stets D t D f k displaystyle Delta t cdot Delta f geq k wobei k je nach Definition von Bandbreite und Zeitdauer den Wert 1 oder 0 5 annimmt Auf der Unbestimmtheitsrelation bezuglich Zeitdauer und Bandbreite basieren zum Beispiel bekannte Grundregeln der Messtechnik Um ein Signal von 100 ns Dauer zu messen benotigt man ein Oszilloskop mit mehr als 10 MHz Bandbreite Um eine Frequenz von 1 Hz zu bestimmen muss das Signal mindestens 1 s lang gemessen werden Zeit Bandbreite Produkt BearbeitenDa die Definition einer bestimmten Bandbreite verschiedenen Festlegungen folgt und auch die Zeitdauer von Signalen nicht eindeutig ist gibt es mehrere unterschiedliche Festlegungen von Zeit Bandbreiten Produkten Beispielsweise wird bei zeitlich nicht begrenzten Signalen das Produkt uber flachengleiche Rechtecke um den Maximalwert des Signals im Ursprung ausgedruckt D t X j w x t w 0 t 0 displaystyle Delta t left frac X mathrm j omega x t right vert omega 0 t 0 nbsp mit X j w F x t displaystyle X mathrm j omega mathcal F left x left t right right nbsp der Fouriertransformierten von x t displaystyle x t nbsp Die Bandbreite D f displaystyle Delta f nbsp wird dazu analog festgelegt zu D f 2 p x t X j w w 0 t 0 displaystyle Delta f 2 pi left frac x t X mathrm j omega right vert omega 0 t 0 nbsp Das Zeit Bandbreite Produkt ist bei dieser Festlegung der Zeitdauer und Bandbreite konstant mit dem Wert D t D f 2 p displaystyle Delta t cdot Delta f 2 pi nbsp Literatur BearbeitenBernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger Einfuhrung in die Systemtheorie 4 Auflage Teubner Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8351 0176 0 Rudiger Hoffmann Grundlagen der Frequenzanalyse Eine Einfuhrung fur Ingenieure und Informatiker 2 Auflage Expert Verlag Renningen 2005 ISBN 3 8169 2447 6 Einzelnachweise Bearbeiten Digitale Ubertragung im Basisband PDF 652 kB Technische Universitat Hamburg Harburg 2007 archiviert vom Original am 12 Juli 2007 abgerufen am 12 Juli 2007 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kupfmullersche Unbestimmtheitsrelation amp oldid 208944097