Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve, benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani, ist eine 8-förmige Kurve auf einer Kugel, die man als Schnittkurve der Kugel (Radius ) und einem die Kugel berührenden Zylinder mit Radius erzeugen kann. (S. Bild).
Viviani stellte 1692 die Aufgabe, aus einer Halbkugel (Radius ) zwei Fenster so herauszuschneiden, dass der Rest der Halbkugelfläche „quadrierbar“ ist. Dabei bedeutet quadrierbar: Man kann mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren. Es stellt sich heraus (s. unten), dass der fragliche Flächeninhalt ist.
Analytische Beschreibung Bearbeiten
Um die Quadrierbarkeit möglichst einfach zeigen zu können, wird hier angenommen, dass
Der Zylinder berührt die Kugel im Punkt
Eigenschaften der Kurve Bearbeiten
Grund-, Auf- und Seitenrisse Bearbeiten
Durch Elimination von bzw. bzw. aus den Gleichungen ergibt sich: Die orthogonale Projektion der Kurve auf die
Parameterdarstellung Bearbeiten
Stellt man die Kugel mit Kugelkoordinaten
dar und setzt erhält man die Kurve
Man prüft leicht nach, dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt, sondern auch die Zylindergleichung erfüllt. Diese Kurve ist allerdings nur die eine Hälfte (rot) der Viviani-Kurve, nämlich der Teil von links unten nach rechts oben. Den anderen Teil (grün, von rechts unten nach links oben) erhält man über die Beziehung
Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lässt sich die Aufgabe von Viviani leicht lösen.
Quadrierbarkeit der Restfläche Bearbeiten
Den Inhalt des rechten oberen Viertels des vivianischen Fensters (s. Bild) erhält man mittels eines Oberflächenintegrals:
Der gesamte Flächeninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Fläche ist also und
- der Inhalt der Halbkugel-Oberfläche () ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist , also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers.
Beziehung zu anderen Kurven Bearbeiten
- Der Aufriss (s. oben) ist eine Lemniskate von Gerono.
- Die vivianische Kurve ist ein Spezialfall einer Clelia-Kurve. Bei einer Clelia-Kurve ist
Subtrahiert man von der Kugelgleichung 2× die Zylindergleichung und führt quadratische Ergänzung durch, erhält man die Gleichung
Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt , dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve. Also gilt
- Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitt
Einzelnachweise Bearbeiten
- Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 97.
- K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 250.