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Verbindbarkeitssatz von Menger Der ist ein mathematischer Lehrsatz über eine grundlegende Fragestellung der Theorie der

Verbindbarkeitssatz von Menger

Der Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein mathematischer Lehrsatz über eine grundlegende Fragestellung der Theorie der metrisch konvexen Räume und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Gebieten Topologie und Geometrie. Der Satz geht (ebenso wie das Konzept des metrisch konvexen Raums) auf eine Arbeit des österreichischen Mathematikers Karl Menger aus den Jahren 1928 zurück.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Verwandte Resultate Bearbeiten

Mit dem mengerschen Verbindbarkeitssatz verwandt ist ein anderer Satz, dem eine ähnliche Fragestellung zugrunde liegt und der auf Stefan Mazurkiewicz zurückgeht:

Im Zusammenhang damit – und nicht weniger auch im Zusammenhang mit dem Verbindbarkeitssatz von Menger – ist ein weiterer Satz erwähnenswert, der unmittelbar folgt und von Ákos Császár in dessen Monographie General Topology als Satz von Mazurkiewicz-Moore-Menger (englisch Mazurkiewicz-Moore-Menger theorem) bezeichnet wird. Dieser Satz lautet:

Anmerkungen zum Beweis des Satzes Bearbeiten

Karl Menger hat den Verbindbarkeitssatz unter Anwendung der Transfiniten Induktion hergeleitet. Im Jahre 1935 gab Nachman Aronszajn einen Beweis ohne Transfinite Induktion. Kazimierz Goebel und William A. Kirk haben in ihrer 1990er Monographie Topics in Metric Fixed Point Theory gezeigt, dass man in Anlehnung an den Originalbeweis von Menger einen Beweis führen kann, der anstelle der Transfiniten Induktion einen Fixpunktsatz benutzt. Wie Goebel und Kirk darstellen, ist dieser Fixpunktsatz eine Verallgemeinerung des banachschen Fixpunktsatzes und geht auf eine Publikation von James Caristi aus dem Jahre 1976 zurück. Sie bezeichnen diese Verallgemeinerung als Satz von Caristi (englisch Caristi’s theorem).

Der Satz von Caristi Bearbeiten

Der Satz besagt das Folgende:

Dann besitzt einen Fixpunkt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • N. Aronszajn: Neuer Beweis der Streckenverbundenheit vollständiger konvexer Räume. In: Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums (Wien). Band 6, 1935, S. 45–56.
  • Leonard M. Blumenthal: Theory and Applications of Distance Geometry (= Chelsea Scientific Books). 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York 1970, ISBN 0-8284-0242-6 (MR0268781).
  • James Caristi: Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 215, 1976, S. 241–251, doi:10.2307/1999724, JSTOR:1999724 (MR0394329).
  • Ákos Császár: General Topology. 2. Auflage. Adam Hilger Ltd., Bristol 1978, ISBN 0-85274-275-4 (MR0474162).
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Kazimierz Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 28). Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 0-521-38289-0 (MR1074005).
  • Karl Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. In: Mathematische Annalen. Band 100, 1928, S. 75–163 (uni-bielefeld.de).
  • R. L. Moore: On the foundations of plane analysis situs. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 17, 1916, S. 131–164 (ams.org).
  • J. van Mill: The Infinite-dimensional Topology of Function Spaces (= North-Holland Mathematical Library. Band 64). North-Holland, Amsterdam (u. a.) 2002, ISBN 0-444-50557-1.
  • Willi Rinow: Die innere Geometrie der metrischen Räume (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 105). Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1961 (MR0123969).

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. ↑ Leonard M. Blumenthal: Theory and Applications of Distance Geometry. 1953, S. 32 ff, S. 41
  2. ↑ Kazimierz Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory. 1990, S. 23–26
  3. ↑ Willi Rinow: Die innere Geometrie der metrischen Räume. 1961, S. 146 ff., S. 148
  4. J. van Mill: The Infinite-dimensional Topology of Function Spaces. 2002, S. 55
  5. Ákos Császár: General Topology. 1978, S. 428
  6. Der Name "Moore" verweist auf Robert Lee Moore, der in einer Arbeit aus dem Jahr 1916 schon derartige Verbindbarkeitsfragen behandelt hat. Siehe hierzu auch die Monographie Allgemeine Topologie mit Anwendungen. von Lutz Führer (Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, S. 153 ff)!
  7. Vgl. Artikel "William Arthur Kirk" (englischsprachige Wikipedia)!
  8. Goebel et al., op. cit., S. 9,13,24–25
  9. In der anglo-amerikanischen Fachliteratur wird der Satz auch Caristi fixed-point theorem genannt. Vgl. Artikel "Caristi fixed-point theorem" (englischsprachige Wikipedia)!
  10. Goebel et al., op. cit., S. 13
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Veröffentlichungsdatum:
Der Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein mathematischer Lehrsatz uber eine grundlegende Fragestellung der Theorie der metrisch konvexen Raume und als solcher angesiedelt im Ubergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Gebieten Topologie und Geometrie Der Satz geht ebenso wie das Konzept des metrisch konvexen Raums auf eine Arbeit des osterreichischen Mathematikers Karl Menger aus den Jahren 1928 zuruck 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verwandte Resultate 3 Anmerkungen zum Beweis des Satzes 3 1 Der Satz von Caristi 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Einzelnachweise und FussnotenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich angeben wie folgt 1 2 3 Gegeben sei ein vollstandiger metrischer und zugleich metrisch konvexer Raum X d displaystyle X d nbsp Dann gilt Zwischen je zwei Raumpunkten x y X displaystyle x y in X nbsp eines beliebigen Abstands A d x y gt 0 displaystyle A d x y gt 0 nbsp gibt es stets eine kurzeste Verbindung in dem Sinne dass das zugehorige reelle Intervall 0 A displaystyle 0 A nbsp eine isometrische Einbettung ϕ 0 A X d displaystyle phi colon 0 A rightarrow X d nbsp gestattet welche die reelle Zahl 0 displaystyle 0 nbsp auf x ϕ 0 displaystyle x phi 0 nbsp und die reelle Zahl A displaystyle A nbsp auf y ϕ A displaystyle y phi A nbsp abbildet Verwandte Resultate BearbeitenMit dem mengerschen Verbindbarkeitssatz verwandt ist ein anderer Satz dem eine ahnliche Fragestellung zugrunde liegt und der auf Stefan Mazurkiewicz zuruckgeht 4 In einem topologischen Raum X displaystyle X nbsp der vollstandig metrisierbar zusammenhangend und lokal zusammenhangend ist gibt es zu je zwei verschiedenen Raumpunkten x y X displaystyle x y in X nbsp stets eine offene Jordan Kurve ϕ 0 1 X displaystyle phi colon 0 1 rightarrow X nbsp welche x ϕ 0 displaystyle x phi 0 nbsp mit y ϕ 1 displaystyle y phi 1 nbsp verbindet Im Zusammenhang damit und nicht weniger auch im Zusammenhang mit dem Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein weiterer Satz erwahnenswert der unmittelbar folgt und von Akos Csaszar in dessen Monographie General Topology als Satz von Mazurkiewicz Moore Menger englisch Mazurkiewicz Moore Menger theorem bezeichnet wird Dieser Satz lautet 5 6 Ist ein vollstandiger metrischer Raum sowohl zusammenhangend als auch lokal zusammenhangend so ist er schon bogenweise zusammenhangend und lokal bogenweise zusammenhangend Anmerkungen zum Beweis des Satzes BearbeitenKarl Menger hat den Verbindbarkeitssatz unter Anwendung der Transfiniten Induktion hergeleitet Im Jahre 1935 gab Nachman Aronszajn einen Beweis ohne Transfinite Induktion 1 Kazimierz Goebel und William A Kirk 7 haben in ihrer 1990er Monographie Topics in Metric Fixed Point Theory gezeigt dass man in Anlehnung an den Originalbeweis von Menger einen Beweis fuhren kann der anstelle der Transfiniten Induktion einen Fixpunktsatz benutzt Wie Goebel und Kirk darstellen ist dieser Fixpunktsatz eine Verallgemeinerung des banachschen Fixpunktsatzes und geht auf eine Publikation von James Caristi aus dem Jahre 1976 zuruck Sie bezeichnen diese Verallgemeinerung als Satz von Caristi englisch Caristi s theorem 8 9 Der Satz von Caristi Bearbeiten Der Satz besagt das Folgende 10 Gegeben seien ein vollstandiger metrischer Raum X d displaystyle X d nbsp sowie eine unterhalbstetige und zudem nach unten beschrankte reellwertige Funktion ps X d R displaystyle psi colon X d rightarrow mathbb R nbsp Hier sei f X X displaystyle f colon X to X nbsp eine beliebige Abbildung welche die folgende Bedingung erfullen moge d x f x ps x ps f x displaystyle d x f x leq psi x psi f x nbsp dd Dann besitzt f displaystyle f nbsp einen Fixpunkt Siehe auch BearbeitenGeodate Geodatischer metrischer Raum Jordan Kurve Peano RaumeLiteratur BearbeitenN Aronszajn Neuer Beweis der Streckenverbundenheit vollstandiger konvexer Raume In Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums Wien Band 6 1935 S 45 56 Leonard M Blumenthal Theory and Applications of Distance Geometry Chelsea Scientific Books 2 Auflage Chelsea Publishing Company New York 1970 ISBN 0 8284 0242 6 MR0268781 James Caristi Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions In Transactions of the American Mathematical Society Band 215 1976 S 241 251 doi 10 2307 1999724 JSTOR 1999724 MR0394329 Akos Csaszar General Topology 2 Auflage Adam Hilger Ltd Bristol 1978 ISBN 0 85274 275 4 MR0474162 Lutz Fuhrer Allgemeine Topologie mit Anwendungen Vieweg Verlag Braunschweig 1977 ISBN 3 528 03059 3 Kazimierz Goebel W A Kirk Topics in Metric Fixed Point Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics Band 28 Cambridge University Press Cambridge 1990 ISBN 0 521 38289 0 MR1074005 Karl Menger Untersuchungen uber allgemeine Metrik In Mathematische Annalen Band 100 1928 S 75 163 uni bielefeld de R L Moore On the foundations of plane analysis situs In Transactions of the American Mathematical Society Band 17 1916 S 131 164 ams org J van Mill The Infinite dimensional Topology of Function Spaces North Holland Mathematical Library Band 64 North Holland Amsterdam u a 2002 ISBN 0 444 50557 1 Willi Rinow Die innere Geometrie der metrischen Raume Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 105 Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg 1961 MR0123969 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten a b c Leonard M Blumenthal Theory and Applications of Distance Geometry 1953 S 32 ff S 41 a b Kazimierz Goebel W A Kirk Topics in Metric Fixed Point Theory 1990 S 23 26 a b Willi Rinow Die innere Geometrie der metrischen Raume 1961 S 146 ff S 148 J van Mill The Infinite dimensional Topology of Function Spaces 2002 S 55 Akos Csaszar General Topology 1978 S 428 Der Name Moore verweist auf Robert Lee Moore der in einer Arbeit aus dem Jahr 1916 schon derartige Verbindbarkeitsfragen behandelt hat Siehe hierzu auch die Monographie Allgemeine Topologie mit Anwendungen von Lutz Fuhrer Vieweg Verlag Braunschweig 1977 S 153 ff Vgl Artikel William Arthur Kirk englischsprachige Wikipedia Goebel et al op cit S 9 13 24 25 In der anglo amerikanischen Fachliteratur wird der Satz auch Caristi fixed point theorem genannt Vgl Artikel Caristi fixed point theorem englischsprachige Wikipedia Goebel et al op cit S 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verbindbarkeitssatz von Menger amp oldid 233220038