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Ungleichung von Erdös Mordell Die manchmal auch als Satz von Erdös Mordell bezeichnet ist eine Aussage über die Abstände

Ungleichung von Erdös-Mordell

Die Ungleichung von Erdös-Mordell, manchmal auch als Satz von Erdös-Mordell bezeichnet, ist eine Aussage über die Abstände eines Punktes in einem Dreieck von dessen Ecken und Seiten. Sie besagt, dass die Summe der Abstände von den Ecken mindestens doppelt so groß ist wie die Summe der Abstände von den Seiten.

Ungleichung von Erdös und Mordell:

Ungleichung Bearbeiten

Für einen Punkt im Inneren eines Dreiecks gilt die folgende Ungleichung:

Hierbei sind die Fußpunkte der Lote vom Punkt auf die (verlängerten) Dreiecksseiten.

Gleichheit tritt nur auf, wenn es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt und dessen Schwerpunkt ist.

Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen Bearbeiten

Die Ungleichung von Erdös-Mordell lässt sich auf konvexe Polygone verallgemeinern. Für ein konvexes Polygon mit Eckpunkten und einem Punkt in seinem Inneren bezeichne die Fußpunkte der Lote von auf die (verlängerten) Polygonseiten . Es gilt dann die folgende Ungleichung:

Hierbei bezeichnet die Sekansfunktion und im Fall erhält man wegen genau die Ungleichung von Erdös-Mordell.

Für den Tetraeder lässt sich eine räumliche Variante der Ungleichung von Erdös-Mordell formulieren. Für einen Tetraeder bei dem der Mittelpunkt seiner Umkugel sich innerhalb des Tetraeders befindet, bezeichne einen weiteren inneren Punkt des Tetraedes und die Fußpunkte der Lote von auf die Flächen des Tetraeders beziehungsweise auf die Ebenen, in denen diese Flächen eingebettet sind. Es gilt dann die folgende Ungleichung:

Geschichte Bearbeiten

Die Ungleichung wurde 1935 von Paul Erdős als Problem 3740 im American Mathematical Monthly beschrieben und ein erster Beweis wurde von Louis Mordell im selben Jahr in einer ungarischen Zeitschrift veröffentlicht. David Francis Barrow fand einen zweiten Beweis, der zudem eine Verschärfung der Ungleichung liefert (Ungleichung von Barrow). Beide Beweise verwenden trigonometrische Funktionen und wurden 1937 zusammen im American Mathematical Monthly veröffentlicht. Weitere einfachere elementargeometrische Beweise stammen unter anderem von D. K. Kazarinoff (1957), Leon Bankoff (1958) und Claudi Alsina/Roger B. Nelsen (2007).

Eine entsprechende Ungleichung für Vierecke wurde 1958 von A. Florian bewiesen. Die Verallgemeinerung auf konvexe Polygone wurde zunächst 1961 von László Fejes Tóth vermutet und dann von Hans-Christof Lenhard im gleichen Jahr bewiesen.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie: Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Springer, 2018, ISBN 978-3-658-22833-0, S. 95-96
  • Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by its History. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-29163-0, S. 222-224
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Visual Proof of the Erdos-Mordell Inequality. In: Forum Geometricorum, Band 7, 2007, S. 99–102.
  • Vilmos Komornik: A Short Proof of the Erdős-Mordell Theorem. In: The American Mathematical Monthly, Band 104, Nr. 1 (Jan., 1997), S. 57–60 (JSTOR:2974824)
  • Jian Liu: Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. In: Journal of Inequalities and Applications, 2016, doi:10.1186/s13660-015-0947-2
  • Paul Erdös, L. J. Mordell, David F. Barrow: 3740. In: The American Mathematical Monthly, Band 44, Nr. 4 (April, 1937), S. 252–254 (JSTOR:2300713)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie: Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Springer, 2018, ISBN 978-3-658-22833-0, S. 95-96
  2. M. Dinca: A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality. In: Articole si Note Matematice, 2009
  3. ↑ Hans-Christof Lenhard: Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone. In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
  4. ↑ Alexander Bogomolny: Erdös-Mordell Inequality auf cut-the-knot.org (abgerufen 19. November 2019)
  5. ↑ Vilmos Komornik: A Short Proof of the Erdős-Mordell Theorem. In: The American Mathematical Monthly, Band 104, Nr. 1 (Jan., 1997), S. 57–60 (JSTOR:2974824)
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Die Ungleichung von Erdos Mordell manchmal auch als Satz von Erdos Mordell bezeichnet ist eine Aussage uber die Abstande eines Punktes in einem Dreieck von dessen Ecken und Seiten Sie besagt dass die Summe der Abstande von den Ecken mindestens doppelt so gross ist wie die Summe der Abstande von den Seiten Ungleichung von Erdos und Mordell d A d B d C 2 d a d b d c displaystyle d A d B d C geq 2 d a d b d c Inhaltsverzeichnis 1 Ungleichung 2 Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen 3 Geschichte 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseUngleichung BearbeitenFur einen Punkt P displaystyle P nbsp im Inneren eines Dreiecks A B C displaystyle triangle ABC nbsp gilt die folgende Ungleichung 1 P A P B P C 2 P F a P F b P F c displaystyle PA PB PC geq 2 PF a PF b PF c nbsp Hierbei sind F a F b F c displaystyle F a F b F c nbsp die Fusspunkte der Lote vom Punkt P displaystyle P nbsp auf die verlangerten Dreiecksseiten Gleichheit tritt nur auf wenn es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt und P displaystyle P nbsp dessen Schwerpunkt ist 1 Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen BearbeitenDie Ungleichung von Erdos Mordell lasst sich auf konvexe Polygone verallgemeinern Fur ein konvexes Polygon mit Eckpunkten A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 ldots A n nbsp und einem Punkt P displaystyle P nbsp in seinem Inneren bezeichne F 1 F 2 F n displaystyle F 1 F 2 ldots F n nbsp die Fusspunkte der Lote von P displaystyle P nbsp auf die verlangerten Polygonseiten A 1 A 2 A n 1 A n A n A 1 displaystyle A 1 A 2 ldots A n 1 A n A n A 1 nbsp Es gilt dann die folgende Ungleichung 2 3 k 1 n P A k sec p n k 1 n P F k displaystyle sum k 1 n PA k geq sec left frac pi n right sum k 1 n PF k nbsp Hierbei bezeichnet sec displaystyle sec nbsp die Sekansfunktion und im Fall n 3 displaystyle n 3 nbsp erhalt man wegen sec p 3 2 displaystyle sec left tfrac pi 3 right 2 nbsp genau die Ungleichung von Erdos Mordell Fur den Tetraeder lasst sich eine raumliche Variante der Ungleichung von Erdos Mordell formulieren Fur einen Tetraeder A B C D displaystyle ABCD nbsp bei dem der Mittelpunkt seiner Umkugel sich innerhalb des Tetraeders befindet bezeichne P displaystyle P nbsp einen weiteren inneren Punkt des Tetraedes und F A B C F A B D F A D C F D B C displaystyle F ABC F ABD F ADC F DBC nbsp die Fusspunkte der Lote von P displaystyle P nbsp auf die Flachen des Tetraeders beziehungsweise auf die Ebenen in denen diese Flachen eingebettet sind Es gilt dann die folgende Ungleichung 4 P A P B P C P D 2 2 P F A B C P F A B D P F A D C P F D B C displaystyle PA PB PC PD geq 2 sqrt 2 PF ABC PF ABD PF ADC PF DBC nbsp Geschichte BearbeitenDie Ungleichung wurde 1935 von Paul Erdos als Problem 3740 im American Mathematical Monthly beschrieben und ein erster Beweis wurde von Louis Mordell im selben Jahr in einer ungarischen Zeitschrift veroffentlicht David Francis Barrow fand einen zweiten Beweis der zudem eine Verscharfung der Ungleichung liefert Ungleichung von Barrow Beide Beweise verwenden trigonometrische Funktionen und wurden 1937 zusammen im American Mathematical Monthly veroffentlicht 5 Weitere einfachere elementargeometrische Beweise stammen unter anderem von D K Kazarinoff 1957 Leon Bankoff 1958 und Claudi Alsina Roger B Nelsen 2007 1 5 Eine entsprechende Ungleichung fur Vierecke wurde 1958 von A Florian bewiesen Die Verallgemeinerung auf konvexe Polygone wurde zunachst 1961 von Laszlo Fejes Toth vermutet und dann von Hans Christof Lenhard im gleichen Jahr bewiesen 3 4 Literatur BearbeitenWolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Springer 2018 ISBN 978 3 658 22833 0 S 95 96 Alexander Ostermann Gerhard Wanner Geometry by its History Springer 2012 ISBN 978 3 642 29163 0 S 222 224 Claudi Alsina Roger B Nelsen A Visual Proof of the Erdos Mordell Inequality In Forum Geometricorum Band 7 2007 S 99 102 Vilmos Komornik A Short Proof of the Erdos Mordell Theorem In The American Mathematical Monthly Band 104 Nr 1 Jan 1997 S 57 60 JSTOR 2974824 Jian Liu Refinements of the Erdos Mordell inequality Barrow s inequality and Oppenheim s inequality In Journal of Inequalities and Applications 2016 doi 10 1186 s13660 015 0947 2 Paul Erdos L J Mordell David F Barrow 3740 In The American Mathematical Monthly Band 44 Nr 4 April 1937 S 252 254 JSTOR 2300713 Weblinks BearbeitenErdos Mordell Inequality auf cut the knot org Eric W Weisstein Erdos Mordell Theorem In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b c Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Springer 2018 ISBN 978 3 658 22833 0 S 95 96 M Dinca A Simple Proof of the Erdos Mordell Inequality In Articole si Note Matematice 2009 a b Hans Christof Lenhard Verallgemeinerung und Verscharfung der Erdos Mordellschen Ungleichung fur Polygone In Archiv fur Mathematische Logik und Grundlagenforschung Band 12 S 311 314 doi 10 1007 BF01650566 MR 0133060 a b Alexander Bogomolny Erdos Mordell Inequality auf cut the knot org abgerufen 19 November 2019 a b Vilmos Komornik A Short Proof of the Erdos Mordell Theorem In The American Mathematical Monthly Band 104 Nr 1 Jan 1997 S 57 60 JSTOR 2974824 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Erdos Mordell amp oldid 239660852