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Topologische Transitivität Von topologischer Transitivität einer Abbildung spricht man in der Mathematik wenn sie einen

Topologische Transitivität

Von topologischer Transitivität einer Abbildung spricht man in der Mathematik, wenn sie einen metrischen Raum „durcheinanderwirbelt“. In der Literatur wird topologische Transitivität daher auch oft als Mischen bezeichnet:

„If U is any open set in the domain of the function, then some point of U will eventually land in every neighborhood of every point in the domain under iteration of the function.“

– Holmgren

Topologische Transitivität ist besonders im Hinblick auf die Diagnose von Chaos im Sinne von Devaney von Bedeutung: Eine Abbildung ist chaotisch, wenn sie topologisch transitiv ist und die Menge der Periodenpunkte von dicht in liegt.

Definition Bearbeiten

Es sei ein metrischer Raum und

eine stetige Abbildung dieses Raumes in sich selbst. Dann heißt topologisch transitiv, wenn für je zwei nichtleere offene Teilmengen von gilt

wobei

Diskussion Bearbeiten

Wie oben angedeutet, sind topologische Transitivität und Dichtheit der periodischen Punkte die beiden Eigenschaften, die einzufordern sind, wenn man von Chaos im Sinne von Devaney spricht. Devaney hat zusätzlich noch sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen gefordert. Allerdings konnten Banks et al. beweisen, dass diese Eigenschaft bereits aus den beiden anderen folgt.

Der Nachweis topologischer Transitivität ist i. A. mühsam, da ja für beliebige offene Mengen gezeigt werden muss, dass sie durchmischt werden. Hilfreich ist in diesem Zusammenhang der Satz, dass bereits die Existenz eines Punktes in genügt, dessen Orbit

dicht in ist, damit topologisch transitiv ist.

Beispiel Bearbeiten

Wir betrachten die Abbildung

auf dem Einheitskreis . Dann gilt: ist topologisch transitiv. Denn es gilt:

Hieraus erkennen wir, dass die Abbildung expansiv ist und damit jedes noch so kleine Bogenstück unter so stark expandiert, dass es schließlich für ein den ganzen Einheitskreis überdeckt und damit auch jedes andere offene Intervall.

Literatur Bearbeiten

  1. R.A. Holmgren: A First Course in Discrete Dynamical Systems, Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0387947809
  2. Banks et al.: Chaos. A mathematical introduction, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0521531047
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Veröffentlichungsdatum:
Von topologischer Transitivitat einer Abbildung spricht man in der Mathematik wenn sie einen metrischen Raum durcheinanderwirbelt In der Literatur wird topologische Transitivitat daher auch oft als Mischen bezeichnet If U is any open set in the domain of the function then some point of U will eventually land in every neighborhood of every point in the domain under iteration of the function Holmgren 1 Topologische Transitivitat ist besonders im Hinblick auf die Diagnose von Chaos im Sinne von Devaney von Bedeutung Eine Abbildung f X X displaystyle f colon X to X ist chaotisch wenn sie topologisch transitiv ist und die Menge der Periodenpunkte von f displaystyle f dicht in X displaystyle X liegt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Diskussion 3 Beispiel 4 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein metrischer Raum und f X X displaystyle f colon X to X nbsp eine stetige Abbildung dieses Raumes in sich selbst Dann heisst f displaystyle f nbsp topologisch transitiv wenn fur je zwei nichtleere offene Teilmengen U V displaystyle U V nbsp von X displaystyle X nbsp gilt n N f n U V displaystyle exists n in mathbb N f n U cap V neq emptyset nbsp wobei f n U f n x x U f f n x x U displaystyle f n U left f n x x in U right big underbrace f circ cdots circ f n x x in U big nbsp Diskussion BearbeitenWie oben angedeutet sind topologische Transitivitat und Dichtheit der periodischen Punkte die beiden Eigenschaften die einzufordern sind wenn man von Chaos im Sinne von Devaney spricht Devaney hat zusatzlich noch sensitive Abhangigkeit von den Anfangsbedingungen gefordert Allerdings konnten Banks et al 2 beweisen dass diese Eigenschaft bereits aus den beiden anderen folgt Der Nachweis topologischer Transitivitat ist i A muhsam da ja fur beliebige offene Mengen U V displaystyle U V nbsp gezeigt werden muss dass sie durchmischt werden Hilfreich ist in diesem Zusammenhang der Satz dass bereits die Existenz eines Punktes x displaystyle x nbsp in X displaystyle X nbsp genugt dessen Orbit O f x f n x n N displaystyle mathcal O f x left f n x n in mathbb N right nbsp dicht in X displaystyle X nbsp ist damit f displaystyle f nbsp topologisch transitiv ist Beispiel BearbeitenWir betrachten die Abbildung f S 1 S 1 8 2 8 displaystyle f colon S 1 to S 1 theta mapsto 2 theta nbsp auf dem Einheitskreis S 1 R 2 p Z displaystyle S 1 mathbb R 2 pi mathbb Z nbsp Dann gilt f displaystyle f nbsp ist topologisch transitiv Denn es gilt f n 8 2 n 8 mod 2 p n N 8 0 2 p displaystyle f n theta 2 n theta hbox mod 2 pi forall n in mathbb N theta in 0 2 pi nbsp Hieraus erkennen wir dass die Abbildung expansiv ist und damit jedes noch so kleine Bogenstuck unter f displaystyle f nbsp so stark expandiert dass es schliesslich fur ein n displaystyle n nbsp den ganzen Einheitskreis uberdeckt und damit auch jedes andere offene Intervall Literatur Bearbeiten R A Holmgren A First Course in Discrete Dynamical Systems Springer Verlag New York 2006 ISBN 0387947809 Banks et al Chaos A mathematical introduction Cambridge University Press Cambridge 2003 ISBN 0521531047 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Topologische Transitivitat amp oldid 205998352