Die sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten ist eine zentrale Charakteristik chaotischer dynamischer Systeme. Darunter verstanden wird die Eigenschaft solcher Systeme, bei einer nur infinitesimal kleinen Änderung der Anfangsbedingungen ein vollkommen unterschiedliches Systemverhalten im Zeitverlauf zu erzeugen. In diesem Sinn spricht man in der Mathematik von deterministischem Chaos: Die Entwicklung eines chaotischen dynamischen Systems ist als Folge der Unvermeidbarkeit von Messfehlern bei der Bestimmung des Anfangszustandes unvorhersagbar, nicht aufgrund eines stochastischen Verhaltens.
Definition Bearbeiten
In der Literatur findet man unterschiedliche Konzeptionen sensitiver Abhängigkeit. Hier sollen drei verbreitete Definitionen angegeben werden. Im Folgenden sei stets
eine stetige Abbildung und ein dynamisches System.
Nach Li/Yorke Bearbeiten
hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Li und Yorke, wenn eine überabzählbare Teilmenge existiert, so dass für alle mit gilt:
und
Nach Guckenheimer Bearbeiten
hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Guckenheimer, wenn eine Teilmenge von positivem Lebesgue-Maß existiert und ein so dass für alle und jede Umgebung von ein und ein existieren mit
Nach Ruelle Bearbeiten
hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Ruelle, wenn ein ergodisches Maß existiert, so dass
für --fast alle erfüllt ist. ist der Ljapunow-Exponent von .
Literatur Bearbeiten
- Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.
- Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos, B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1