Die tanc Funktion oder auch Kardinaltangens Tangens cardinalis ist eine mathematische Funktion die durchDie tanc Funktion im Bereich von 11 bis 11 tanc x tan x x displaystyle operatorname tanc x dfrac tan x x definiert ist Hierbei bezeichnet tan x displaystyle tan x den gewohnlichen Tangens 1 Analog zur gebrauchlicheren sinc Funktion wird die Funktion an der hebbaren Definitionslucke bei x 0 displaystyle x 0 durch ihren Grenzwert tanc 0 1 displaystyle operatorname tanc 0 1 fortgesetzt Trotz ihrer strukturellen Ahnlichkeit zahlt sie nicht zu den Kardinalfunktionen 2 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Allgemeines 1 2 Nullstellen 1 3 Asymptotisches Grenzverhalten 1 4 Ableitungen 1 5 Integrale 2 Abgrenzung 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenAllgemeines Bearbeiten An der hebbaren Singularitat bei x 0 displaystyle x 0 nbsp werden die Funktionen durch den Grenzwert tanc 0 1 displaystyle operatorname tanc 0 1 nbsp bzw tanc 0 1 displaystyle operatorname tanc 0 1 nbsp stetig fortgesetzt der sich aus der Regel von de L Hospital ergibt manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben tanc x tan x x x 0 x p n 1 x 0 displaystyle operatorname tanc x begin cases frac tan x x amp x neq 0 vee x neq pi n 1 amp x 0 end cases nbsp Nullstellen Bearbeiten Die tanc Funktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von p displaystyle pi nbsp tanc x tan x x 0 displaystyle operatorname tanc x frac tan x x 0 nbsp gilt fur x n p n Z 0 displaystyle x in n pi mid n in mathbb Z setminus 0 nbsp Asymptotisches Grenzverhalten Bearbeiten Fur x displaystyle x nbsp Koordinaten der Form x n 1 2 p n displaystyle x n frac 1 2 pi n nbsp mit ganzzahligem n displaystyle n nbsp hat die tanc x n displaystyle operatorname tanc x n nbsp Funktion ein asymptotisches Grenzverhalten da tan x n displaystyle tan x n nbsp divergiert Ableitungen Bearbeiten Die erste Ableitung von tanc x displaystyle operatorname tanc x nbsp ist gegeben durch d d x tanc x sec 2 x x tan x x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname tanc x frac sec 2 x x frac tan x x 2 nbsp Integrale Bearbeiten Das Integral vom Kehrwert der tanc Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert 0 p 2 1 tanc x p 2 ln 2 displaystyle int 0 pi 2 frac 1 operatorname tanc x frac pi 2 ln 2 nbsp Dies wird im Folgenden bewiesen 0 p 2 1 tanc x d x 0 1 arcsin x x d x 0 1 0 1 1 x 2 x 2 y 2 1 y 1 y 2 d y d x displaystyle int 0 pi 2 frac 1 operatorname tanc x mathrm d x int 0 1 frac operatorname arcsin x x mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 x 2 y 2 1 frac y sqrt 1 y 2 mathrm d y mathrm d x nbsp 0 1 0 1 1 x 2 x 2 y 2 1 y 1 y 2 d x d y 0 1 p 2 y 1 y 2 1 1 y 2 d y p 2 ln 2 displaystyle int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 x 2 y 2 1 frac y sqrt 1 y 2 mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac pi 2 frac y sqrt 1 y 2 1 sqrt 1 y 2 mathrm d y frac pi 2 ln 2 nbsp Abgrenzung BearbeitenDie tanc x displaystyle operatorname tanc x nbsp hat strukturell grosse Ahnlichkeit zu der sinc x displaystyle operatorname sinc x nbsp Funktion ist allerdings keine Kardinalfunktion hat aber Definitionslucken bei n 1 2 p displaystyle n frac 1 2 pi nbsp Daher ist bspw in der Physik die Verwendung von sinc x displaystyle operatorname sinc x nbsp gebrauchlicher Weblinks BearbeitenInformation zur Tanc Funktion bei Wolfram ResearchEinzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Tanc Function Abgerufen am 23 Januar 2020 englisch Cardinal Function Eric W Weisstein Wolfram Web Resource Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tanc Funktion amp oldid 239646178
